数字三角形问题（动态规划）_已知数字三角形如下所示。请利用动态规划技术寻找一条从顶部数字出发,到达最底层

题目：

 在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99。

输入格式：

    5      //表示三角形的行数    接下来输入三角形
 
    7
 
    3   8
 
    8   1   0
 
    2   7   4   4
 
    4   5   2   6   5

要求输入最大和

思路：

用D[i][j]存储点（i,j），maxsum[i][j]存储点(i,j)到底边路径的最大和。由于点（i,j）只能向(i+1,j)和（i+1,j+1）走，理所当然的知道要选择到底边和最大的那个点走（是到底边和最大的点，而不是数大的点）；最后一行的maxsum和D相等（不用走，就是自己本身），所以就有递推公式：

if i == n(最后一行)
maxsum[i][j] = D[i][j];
else
maxsum[i][j] = max(maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1]) +D[i][j]

初始状态为底边数字，值为底边数字值。

从最后一行往上计算，算完的值存在maxsum中.

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int D[20][20];
int n;
int maxsum[20][20];
/*递归法
int MaxSum(int i,int j)
{
    //表示已经计算过这个值了，可以直接取 不用重复计算
    if( maxsum[i][j] != -1 )
		return maxsum[i][j];
		//最后一行
    if(i == n-1)
        maxsum[i][j] = D[n-1][j];
 
    else{
        maxsum[i][j] =max(MaxSum(i+1,j+1),MaxSum(i+1,j))+D[i][j];
    }
    return maxsum[i][j];
}
*/
 
int main()
{
 
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j <= i;j++)
            {cin >> D[i][j];
            maxsum[i][j] = -1; }
   //递推法，从下往上计算
    for(int j = 0;j < n;j++)
        maxsum[n-1][j] = D[n-1][j];
    for(int i = n-2;i>=0;i--)
        for(int j = 0;j <=i;j++)
            maxsum[i][j] = max(maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1])+D[i][j];
    cout << maxsum[0][0];
 
    return 0;
}

要点：

递归法为从上往下计算；而动态规划（递推法）是从下往上计算，无重复，一次到顶。