数据结构 |【第一章】概念_每个结点只含有一个数据元素,所有存储结点相继

前言

  3月18号已经开学3天了。由于疫情，本学期大部分开学相对于往年都比较迟。本学期我开始学习了数据结构这门课程，使用的是c语言。由于大一上，c语言只接触到了指针前面的内容，并且没有花时间去认真学，基础相对薄弱，在本学期会重新在温习一遍。所以前段时间在复习c语言，并且按照学习进度写在博客。这学期加上数据结构的课程，我会加快复习进度，并会学得深入一点，后续还会持续更新其他章节的内容。
  通过数据结构这门课程的学习，我会按照章节内容将笔记整理出来。在老师结束本章内容的时候同时发布这一章的内容，而且我会在每章结尾附上课后习题，习题答案会在下一章节的前面发布答案。希望同学一起学习，一起进步⛽。

概论

数据作为计算机加工处理的对象，在计算机中如何表示、存储是计算机科学研究的主要内容之一，更是计算机技术要解决的问题之一。若要让计算机更加有效地进行这些非数值性处理，就必须要弄清这些操作对象的特点，在计算机中的表示方式以及各个操作的具体实现手段。这就是 数据结构 这门课程的主要内容。

什么是数据结构

数据结构：带有结构的数据元素的集合。
是介于数学、计算机硬件和计算机软件三者之间的核心课程。数据结构是一般非数值计算机程序设计基础，也是设计和是实现汇编语言、编译程序、操作系统、数据库系统，以及其他程序和大型应用程序的重要基础。
结构：数据元素之间的互相关系。

数据结构包含以下两方面内容：

• 构成集合的数据元素；
• 数据元素之间存在的关系。

著名科学家N. Writh提出 算法+数据结构=程序 的思想，明确指出了数据结构实际上是程序的主要部分。

数据结构研究内容

用计算机解决一个实际问题时，大致需要以下步骤：

• 从具体问题抽象除一个适当的数学模型；
• 设计求解数学模型的算法；
• 编制、运行并调试程序，直到解决问题。

so，数学建模过程就是分析问题，并找出这些对象的关系，用数学语言来描述。

【例1】：
井字棋人机对弈问题。井字棋对弈过程中,任何一方只要使相同的三个棋子连成一条直线即为胜方(可以是一行一列或一条对角线)。如果下一棋子由“x”方下,可以派生出五个子格局,如图1-1所示。

若将从对弈开始到结束的过程中所有的可能的格局画在一张图上,即形成了一棵倒的对弈“树”。“树根”是对弈开始时的第一步棋,而所有的“叶子”便是可能出现的结局。

数据的逻辑结构

概念和术语

数据（Data）：

所有能输入到计算机中且能被程序处理的符号的表示。

数据元素（Data Element）：

数据元素也称为结点时数据的基本单位。例如：一个student的info为一个数据元素，一个stu信息中的每一项（学号、性别等）为一个数据项。数据项时数据处理中不可分割的最小单位。

数据结构（Data Structure）：

按某种逻辑关系组织起来的一批数据，按一定的映像方式把它存放在计算机存储器中，并在这些数据上定义了一个运算的集合。
数据结构一般包括以下3方面内容：

• 数据元素之间的逻辑关系，即数据的逻辑结构；
• 数据元素及其关系在计算机存储器内的表示，即数据的存储结构；
• 数据的匀速那， 即对数据施加的操作。

数据的逻辑结构

定义：

指 数据元素 之间逻辑关系描述。
  可用二元组表：G=(D, R)
    D - 数据元素的有限集合；R - 是D上关系的有限集合；数据的逻辑结构是从逻辑关系上描述数据，与数据存储无关，是独立与计算机的。

数据的逻辑结构分类：

根据数据元素之间的逻辑关系的不同特性可分为以下4类基本结构：

• 集合：数据元素中除同 属于一个集合 的关系外，无其他关系。最简单的数据结构；

• 线性结构：数据元素之间存在 一对一 的关系；
     特点：存在先后关系，对任一节点，在前面的为 直接前驱 ，至多一个；在后面的为 直接后继 ，至多一个。

• 树形结构：数据元素之间存在 一对多 的关系；
     特点：一个数据元素向上和一个数据元素相连为 双亲结点；向下和多个数据元素相连为 孩子节点。

• 图形或网状结构：任意数据元素之间都阔以有关系，元素之间存在 多对多 关系。
     特点：一个结点可能有多个 直接前驱 和 直接后继>

数据的存储结构

数据在计算机中存储为数据的 存储结构【物理结构】

• 顺序存储结构
• 链式存储结构

数据的存储结构是逻辑结构在计算机存储器中的实现

逻辑结构和存储结构的关系：

存储结构是逻辑关系的映像与元素本身映像，是数据结构的实现；逻辑结构是数据结构的抽象。

顺序存储结构

借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素间的逻辑关系。

特点：

• 可实现对各数据的随机访问。因为只要知道存储的首地址以及每个数据元素所占的存储单元，就可计算出各数据元素的存储地址。
• 但不利于数据元素修改，插入、删除等操作，需要移动一系列数据元素。

链表存储结构

借助于指示元素存储地址的指针表示数据元素间的逻辑关系。

【例】：

特点：

• 利于对数据元素修改、插入、删除，仅需修改数据元素的指针字段值，而不必移动数据元素。
• 由于逻辑上相邻的数据元素在存储位置中不一定相邻，so，链式存储结构不能对数据元素进行随机访问。

索引存储结构

索引存储是在原有的存储结构的基础上，附加建立一个索引表,索引表中的每一项都由关键字和地址组成。索引表反映了按某一个关键字递增或递减排列的逻辑次序。采取索引存储的主要作用是为了提高数据的检索速度。

散列存储结构

散列存储是通过构造散列函数来确定数据存储地址或查找地址。
【例如】：某一地区进行2000年以后出生的人口统计。我们用“出生年份-2000=存储地址”来构造一个函数,即用出生年份减去2000得到的差值就是存储地址，这样就能方便的得到这样的调查表。

算法

概念

算法的定义：

算法是由若干条指令所组成的有穷序列，其中每条指令表示计算机的一个或多个操作。

算法的特性：

好算法具有以下5个特性：

• 有穷性：一个算法必须对任何合法的输入值在执行有限时间内完成,不能形成无穷循环；
• 确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，不会产生二义性；
• 可行性：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现；
• 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合；
• 输出：一个算法必有一个或多个输出，这些输出是与输入有着一定关系的量。.

好算法应达到的目标：

   算法与数据结构是相辅相成的。解决某一特定类型问题的算法可以选定不同的数据结构，而且选择恰当与否直接影响算法的效率。反之，一种数据结构的优劣由各种算法的执行来体现。

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   设计一个好的算法通常需要考虑以下几个方面的要求：

• 正确性：要求算法能够正确地执行预先规定的功能,并达到所期望的性能要求；
• 可读性：为了便于理解、测试和修改算法，算法应该具有良好的可读性；
• 健壮性：当输入非法的数据时,算法应能恰当地做出反应或进行相应处理，而不是产生莫名奇妙的输出结果。并且处理出错的方法不应是中断程序的执行，而是返回一个表示错误或错误性质的值，以便在更高的抽象层次上进行处理；
• 高效性：要求算法的执行时间要尽可能地短，算法的效率就越高；
• 低存储量：完成相同的功能，执行算法时所占用的附加存储空间要尽可能地少。

  实际上，算法很难做到十全十美,因为上述要求有时会相互抵触。所以,实际操作中，应以算法正确为前提，根据具体情况而有所侧重。

算法的效率评价

   一个好的算法首先要具备正确性、可读性和健壮性。在具备了这3个条件后，就应老虑算法的效率问题，即算法的时间效率(所需运算的时间)和空间效率(所存储空间)两方面。对于求解同一个问题，可以设计出若干个算法,对于不同的算法进行性能分析是数据结构的一个重要内容。

在算法满足正确性的前提下，如何评价不同算法的优劣呢？：
   通常主要考虑算法的时间复杂度和空间复杂度这两方面。一般情况下,鉴于运算空间较为充足，所以把算法的时间复杂度作为重点分析。

时间复杂度(Time Complexity )：

一个算法所需的运算时间通常与所解决问题的规模大小有关。

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   问题规模是一个和输入有关的量，用n表示问题规模的量，通常把算法运行所需的时间T表示为n的函数，记为T(n)不同的T(n)算法，当n增长时，运算时间增长的快慢很不相同。

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   一个算法所需的执行时间就是该算法中所有语句执行次数之和。当n逐渐增大时T(n)的极限情况，一般简称为时间复杂度。

当讨论一个程序的运行时间时。注重的不是T(n)的具体值。而是它的增长率。T(n)的增长率与算法中数据的输入规模紧密相关。而数据输入规模往往用算法中的某个变量的函数来表示,通常是f(n)。随着数据输入规模的增大。f(n)的增长率与T(n)的增长率相近。因此T(n)同f(n)在数量级上是一致的。记作:

                     T (n)=O(f(n))

其中,大写字母O表示数量级(Order of Magnitude )的概念，f(n)为函数形式。

【例如】：若T(n)=3n^2+5n+2，则3n^2+5n+2的数量级与n2的数量级相同，所以T(n)=O(n^2)注意，当T(n)为多项式时，可只取其最高次幂项并省略其系数，其他的次幂项及系数均略去不写。一般地，对于足够大的n，常用的时间复杂度的大小次序如下：O (1)<(log2n )<(n)<(nlog2n )<O(n^2)<(n^3)<(2^n)算法时间复杂度的数量级越大，表示该算法的效率越低，反之越高。
【例如】：O(1)为常数数量级，即算法的时间复杂性与输入规模n无关。

空间复杂度（Space Complexity）：

一个算法的空间复杂度是指程序运行开始到结束所需要的存储空间。包括算法本身所占用的存储空间、输入/输出数据占用的存储空间以及算法在运行过程中的工作单元和实现算法所需辅助空间。类似于算法的时间复杂度，算法所需存储空间的量度记作：
                  S (n)=(f(n))
其中，n为问题的规模，一个程序上机执行时,除了需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据以外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和实现算法所必需的辅助空间。在进行时间复杂度分析时，如果所占空间量依赖于特定的输入，一般都是按最差情况来分析。

本章小结

• 数据结构主要研究数据的逻辑结构、存储结构和运算方法。
• 数据的逻辑结构包括：集合、线性结构、树形结构、图形结构4种基本类型。
• 数据的存储结构包括：顺序存储结构、链式存储结构、索引存储、散列存储4种。
• 顺序存储可以采用一维数组来存储;链式存储可以采用链表来存储；索引存储则在原有存储数据结构的基础上，附加建立一个索引表来实现,主要作用是为了提高数据的检索速度；而散列存储则是通过构造散列函数来确定数据存储地址或查找地址。
• 算法是对特定问题求解步骤的一种描述,是指令的有限序列。算法具有:有穷性、确定性、可行性、输入、输出等特性。
• 一个好的算法应达到：正确性、可读性、健壮性、高效性和低存储量等目标。
• 算法的效率通常用时间复杂度与空间复杂度来评价，一个算法的时间复杂度越好,则算法的效率就越高。

课后习题

选择题

1.数据结构通常是研究数据的( )及它们之间的相互联系。
A.存储结构和逻辑结构 B.存储和抽象 C.联系和抽象 D.联系与逻辑

2.从逻辑上可以把数据结构分为( )两大类。
A.动态结构、静态结构 B.顺序结构、链式结构
C.线性结构、非线性结构 D.初等结构、构造型结构

3.数据处理的基本单位是( )
A.数据元素 B.数据项 C.数据类型 D.数据变量

4.数据结构中线性结构中元素对应关系为( )
A.一对一 B.一对多 C.多对多 D.无关系

5.数据结构中树形结构中元素对应关系为( )
A.一对一 B.一对多 C.多对多 D.无关系

6.数据结构中图形结构中元素对应关系为( )
A.一对 B.一对多 C.多对多 D.无关系

7.数据在计算机存储器内表示时,物理地址和逻辑地址相同并且是连续的,称为( )
A.存储结构 B.逻辑结构 C.顺序存储结构 D.链式存储结构

8.非线性结构中的每个结点( )
A.无直接前趋结点 B.无直接后继结点
C.只有一个直接前趋结点和一个直接后继结点
D.可能有多个直接前趋结点和多个直接后继结点

9.链式存储的存储结构所占存储空间( )
A.分两部分,一部分存放结点的值,另一部分存放表示结点间关系的指针
B.只有一部分,存放结点的值
C.只有一部分,存储表示结点间关系的指针
D.分两部分,一部分存放结点的值,另一部分存放结点所占单元素

10.算法分析的两个主要方面是( )
A.正确性和简单性 B.可读性和文档性 C.数据复杂性和程序复杂性 D.时间复杂度和空间复杂度

11.算法的计算量大小称为算法的( )
A.现实性 B.难度 C.时间复杂性 D.效率

12.数据的基本单位是( )
A.数据结构 B.数据元素 C.数据项 D.文件

13.每个结点只含有一个数据元素,所有存储结点相继存放在一个连续的存储区里,这种存储结构称为( )
A.顺序存储 B.数据元素 C.索引存储 D.散列存储

14.每一个存储结点不仅含有一个数据元素,还包含一组指针,该存储方式是( )存储方式。
A.顺序 B.链式 C.索引 D.散列

15.以下任何两个结点之间都没有逻辑关系的是( )
A.图形结构 B.线性结构 C.树形结构 D.集合

16.在数据结构中,与所使用的计算机无关的是( )
A.物理结构 B.存储结构 C.逻辑结构 D.逻辑和存储结构

17.下列四种基本逻辑结构中,数据元素之间关系最弱的是( )
A.集合 B.线性结构 C.树形结构 D.图形结构

18.与数据元素本身的形式、内容、相对位置、个数无关的是数据的( )
A.逻辑结构 B.存储结构 C.逻辑实现 D.存储实现

19.每一个存储结点只含有一个数据元素,存储结点存放在连续的存储空间,另外有一组指明结点存储位置的表,该存储方式是( )存储方式。
A.顺序 B.链式 C.索引 D.散列

20.算法能正确的实现预定功能的特性称为算法的( )
A.正确性B.易读性C.健壮性D.高效性

21.算法在发生非法操作时可以做出处理的特性称为算法的( )
A.正确性 B.易读性 C.健壮性 D.高效性

22.下列时间复杂度中最坏的是( )。
A.O(1) B .O(n) C .O (log2n) D .(n)

23.在下面的程序段中,对x的赋值语句的频度为()

for (i =1;i<;i ++)for ( =;j<n;j ++)a++;
1

A .(2n) B .O (n) C .O (n^2) D .O (log2n)

二、填空题

1.常见的数据结构有________________。
2.算法的5个重要特性是有穷性、可行性、。
3.评价算法的优劣通常主要考虑算法的_______和_______这两方面。
4.线性结构中元素之间存在______关系,树形结构中元素之间存在________关系,图形结构中元素之间存在______关系。
5.数据的存储结构又称为______。
6.数据结构定义为(D,R),其中D是数据的有限集合,R是D上的________的有限集合。
7.算法的空间复杂度是指该算法所耗费的，它是该算法求解问题规模n的函数。
8.算法是一个_________的集合,算法效率的度量可以分为和
9.若一个算法中的语句频度之和为T(n)=7n+4n2,则算法的时间复杂度为____。
10.设有一组数据元素需存储,为了方便查找某元素,数据宜采用_______存储结构;为了方便插入与删除某元素,数据宜采用________存储结构。

三、判断题

1.数据的逻辑结构与数据元素本身的内容和形式无关。
2.一个数据结构是由一个逻辑结构和这个逻辑结构上一个基本运算集构成的整体。
3.数据元素是数据的最小单位。
4.数据的逻辑结构和数据的存储结构是相同的
5.程序和算法原则上没有区别,所以在讨论数据结构时可以通用。
6.从逻辑关系上讲,数据结构主要分为线性结构和非线性结构两类。
7.数据的存储结构是数据的逻辑结构的存储映像。