softmax回归梯度公式推导及实现_softmax 的梯度

最近在看小象学院的机器学习视频，里面只稍微提了下softmax回归，并没给推导过程和代码，于是就自己尝试了一下。

推导如下：

代码实现使用的是鸢尾花数据集，该数据集有3种鸢尾花，数据集刚开始长下面这个样子：

data=pd.read_csv('iris.data',header=None) #一共有150个样本

对数据进行预处理，首先把3种鸢尾花名称编码成0，1，2，然后还要插入一列，使数据x变成(1,x)，方便算theta*(1,x)

sort=data[4]   
data[4]=pd.Categorical(data[4]).codes   #将种类编码成0，1，2
data.insert(0,'常数项',1)   #将x扩展成(1,x),以便计算theta*(1,x)

变换完成后，数据变成下面的样子

然后就可以选出训练集和测试集了

x=data.iloc[:,0:5].as_matrix()
y=data[4].as_matrix()
x,x_test,y,y_test=train_test_split(x,y,test_size=0.3)  #用105个样本训练
theta=softMax(x,y,0.02)   #学习因子不能取太大，否则最后计算出的theta无穷大

softmax回归参数训练的程序如下

#采用随机梯度下降法，每次只挑选一个样本做优化
def softMax(x,y,alpha):  
    theta=np.zeros((3,5))  #初始theta矩阵  
    for i in range(10000): #迭代10000次  
        k=np.random.randint(0,105) #从105个样本中随机挑选一个做优化
        x_=x[k].reshape(5,1)
        theta_T_x=np.dot(theta,x_)  #计算所有的theta*x  
        e_theta_T_x=np.exp(theta_T_x)   #计算所有指数函数  
        denominator=e_theta_T_x.sum()  #计算分母  
        numerator=e_theta_T_x   #分子  
        fraction=numerator/denominator  #计算所有分数  
        y_vector=np.where(np.arange(3).reshape(3,1)==y[k],1,0) #计算y向量
        gradient=(fraction-y_vector)*x[k]
        theta-=alpha*gradient   #更新theta矩阵  
    return theta  

训练完theta后，就可以在测试集上验证了

predict=np.dot(theta,x_test.T)
predict_sort=predict.argmax(axis=0)
num_of_wrong=(predict_sort!=y_test).sum()
print("预测错误的个数: ",num_of_wrong)
print("正确率为: {0}%".format((45-num_of_wrong)/45*100))

结果如下：

预测错误的个数:  1
正确率为: 97.77777777777777%

完整的代码实现如下所示：

import numpy as np  
import pandas as pd  
from sklearn.model_selection import train_test_split  
  
#采用随机梯度下降法，每次只挑选一个样本做优化
def softMax(x,y,alpha):  
    theta=np.zeros((3,5))  #初始theta矩阵  
    for i in range(10000): #迭代10000次  
        k=np.random.randint(0,105) #从105个样本中随机挑选一个做优化
        x_=x[k].reshape(5,1)
        theta_T_x=np.dot(theta,x_)  #计算所有的theta*x  
        e_theta_T_x=np.exp(theta_T_x)   #计算所有指数函数  
        denominator=e_theta_T_x.sum()  #计算分母  
        numerator=e_theta_T_x   #分子  
        fraction=numerator/denominator  #计算所有分数  
        y_vector=np.where(np.arange(3).reshape(3,1)==y[k],1,0) #计算y向量
        gradient=(fraction-y_vector)*x[k]
        theta-=alpha*gradient   #更新theta矩阵  
    return theta  
          
          
          
          
if __name__=="__main__":  
    data=pd.read_csv('iris.data',header=None)  #一共有150个样本  
    sort=data[4]     
    data[4]=pd.Categorical(data[4]).codes   #将种类编码成0，1，2  
    data.insert(0,'常数项',1)   #将x扩展成(1,x),以便计算theta*x  
    x=data.iloc[:,0:5].as_matrix()  
    y=data[4].as_matrix()  
    x,x_test,y,y_test=train_test_split(x,y,test_size=0.3)  #用105个样本训练  
    theta=softMax(x,y,0.01)   #学习因子不能取太大，否则最后计算出的theta无穷大  
    predict=np.dot(theta,x_test.T)  
    predict_sort=predict.argmax(axis=0)  
    num_of_wrong=(predict_sort!=y_test).sum()  
    print("预测错误的个数: ",num_of_wrong)  
    print("正确率为: {0}%".format((45-num_of_wrong)/45*100))