【算法】最小生成树——普利姆 (Prim) 算法_普利姆算法

1.概述

（1）在一给定的无向图 G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得联通所有结点的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树 (minimal spanning tree)。

（2）普利姆 (Prim) 算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法，其主要思路如下：

• ① 选择任意一个顶点作为起始点，将其加入最小生成树中。
• ② 从已选择的顶点集合中选取一个顶点，该顶点与未选择的顶点构成的边权重最小，并且该边的另一端顶点未被选择，将该顶点和边加入最小生成树中。
• ③ 重复步骤 ②，直到最小生成树包含了图中的所有顶点。

（3）例如，对带权连通无向图 G 使用普利姆 (Prim) 算法构造最小生成树的过程如下：

另外一种生成最小生成树的克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法可参考【算法】最小生成树——克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法这篇文章。

2.代码实现

2.1.邻接矩阵存储图

class Solution {

    // INF 表示两点之间没有连接，即无穷大
    int INF = Integer.MAX_VALUE;

    /*
         graph: 用于表示图的邻接矩阵
         返回值: 路径矩阵
    */
    public int prim(int[][] graph) {
        //图中的顶点数
        int V = graph.length;
        // weight[i] 表示从 i 点到已访问集合的最小边权值
        int[] weight = new int[V];
        Arrays.fill(weight, INF);
        //标记节点是否在最小生成树中
        boolean[] mstSet = new boolean[V];
        // parent[i] 表示从 i 点到最小生成树的一条边
        int[] parent = new int[V];
        //从顶点 0 开始生成最小树
        weight[0] = 0;
        //根节点没有父节点
        parent[0] = -1;
        //访问 V - 1 个节点
        for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
            //从未访问的节点中选择 weight 最小的节点 u
            int u = minKey(weight, mstSet);
            //将节点 u 标记为已访问
            mstSet[u] = true;
            //访问与 u 相邻的节点 v
            for (int v = 0; v < V; v++) {
                //如果 v 未被访问过、u - v 之间有边、并且 u - v 之间的距离比原本的距离小
                if (!mstSet[v] && graph[u][v] != 0 && graph[u][v] != INF && graph[u][v] < weight[v]) {
                    //将 u - v 之间的边加入最小生成树
                    parent[v] = u;
                    //标记从 v 到已访问集合的最小边权值
                    weight[v] = graph[u][v];
                }
            }
        }
        //计算最小生成树的权值并返回
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < V; i++) {
            sum += weight[i];
        }
        //输出最小生成树的路径
        System.out.println("最小生成树的路径以及对应的权重依次为: ");
        for (int i = 1; i < V; i++) {
            System.out.println("(" + parent[i] + "-" + i + ") " + weight[i]);
        }
        return sum;
    }

    public int minKey(int[] weight, boolean[] mstSet) {
        //初始化 weight 的最小值和对应的节点
        int min = INF;
        int minIndex = -1;
        for (int v = 0; v < weight.length; v++) {
            //如果 v 节点未被访问，并且 v 节点到已访问集合的边的权值更小
            if (!mstSet[v] && weight[v] < min) {
                //更新最小值
                min = weight[v];
                //更新 weight 的最小值对应的节点
                minIndex = v;
            }
        }
        return minIndex;
    }
}
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2.2.邻接表存储图

class Solution {

    // INF 表示两点之间没有连接，即无穷大
    int INF = Integer.MAX_VALUE;

    /*
         graph: 用于表示图的邻接表
         返回值: 最小生成树的权重
    */
    public int prim(List<int[]>[] graph) {
        //图中的顶点数
        int V = graph.length;
        // weight[i] 表示从 i 点到已访问集合的最小边权值
        int[] weight = new int[V];
        Arrays.fill(weight, INF);
        //标记节点是否在最小生成树中
        boolean[] mstSet = new boolean[V];
        // parent[i] 表示从 i 点到最小生成树的一条边
        int[] parent = new int[V];
        //从顶点 0 开始生成最小树
        weight[0] = 0;
        //根节点没有父节点
        parent[0] = -1;
        //访问 V - 1 个节点
        for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
            //从未访问的节点中选择 weight 最小的节点 u
            int u = minKey(weight, mstSet);
            //将节点 u 标记为已访问
            mstSet[u] = true;
            //访问与 u 相邻的节点 v
            for (int[] node : graph[u]) {
                int v = node[0];
                int w = node[1];
                if (!mstSet[v] && w < weight[v]) {
                    parent[v] = u;
                    weight[v] = w;
                }
            }
        }
        //计算最小生成树的权值并返回
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < V; i++) {
            sum += weight[i];
        }
        //输出最小生成树的路径
        System.out.println("最小生成树的路径以及对应的权重依次为: ");
        for (int i = 1; i < V; i++) {
            System.out.println("(" + parent[i] + "-" + i + ") " + weight[i]);
        }
        return sum;
    }

    public int minKey(int[] weight, boolean[] mstSet) {
        //初始化 weight 的最小值和对应的节点
        int min = INF;
        int minIndex = -1;
        for (int v = 0; v < weight.length; v++) {
            //如果 v 节点未被访问，并且 v 节点到已访问集合的边的权值更小
            if (!mstSet[v] && weight[v] < min) {
                //更新最小值
                min = weight[v];
                //更新 weight 的最小值对应的节点
                minIndex = v;
            }
        }
        return minIndex;
    }
}
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2.3.测试

（1）本测试中的加权无向图如下所示：

（2）邻接矩阵的测试代码如下：

class Test {
	public static void main(String[] args) {
        //图的顶点数
        int n = 7;
        int[][] graph = new int[n][n];
        //初始化邻接矩阵，初始化为 Integer.MAX_VALUE 表示不可达
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], Integer.MAX_VALUE);
            graph[i][i] = 0;
        }
        //添加图的边
        graph[0][1] = 9;
        graph[0][5] = 1;
        graph[1][0] = 9;
        graph[1][2] = 4;
        graph[1][6] = 3;
        graph[2][1] = 4;
        graph[2][3] = 2;
        graph[3][2] = 2;
        graph[3][4] = 6;
        graph[3][6] = 5;
        graph[4][3] = 6;
        graph[4][5] = 8;
        graph[4][6] = 7;
        graph[5][0] = 1;
        graph[5][4] = 8;
        graph[6][1] = 3;
        graph[6][3] = 5;
        graph[6][4] = 7;

        Solution solution = new Solution();
        int sum = solution.prim(graph);
        System.out.println("最小生成树的权重为: " + sum);
    }
}
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输出结果如下：

最小生成树的路径以及对应的权重依次为: 
(2-1) 4
(3-2) 2
(4-3) 6
(5-4) 8
(0-5) 1
(1-6) 3
最小生成树的权重为: 24
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4
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（3）邻接表的测试代码如下：

class Test {
	public static void main(String[] args) {
        //图的顶点数
        int n = 7;
        List<int[]>[] graph = new ArrayList[n];
        //初始化邻接表
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            graph[i] = new ArrayList<>();
        }
        //添加图的边
        graph[0].add(new int[]{1, 9});
        graph[0].add(new int[]{5, 1});
        graph[1].add(new int[]{0, 9});
        graph[1].add(new int[]{2, 4});
        graph[1].add(new int[]{6, 3});
        graph[2].add(new int[]{1, 4});
        graph[2].add(new int[]{3, 2});
        graph[3].add(new int[]{2, 2});
        graph[3].add(new int[]{4, 6});
        graph[3].add(new int[]{6, 5});
        graph[4].add(new int[]{3, 6});
        graph[4].add(new int[]{5, 8});
        graph[4].add(new int[]{6, 7});
        graph[5].add(new int[]{0, 1});
        graph[5].add(new int[]{4, 8});
        graph[6].add(new int[]{1, 3});
        graph[6].add(new int[]{3, 5});
        graph[6].add(new int[]{4, 7});

        Solution solution = new Solution();
        int sum = solution.prim(graph);
        System.out.println("最小生成树的权重为: " + sum);
    }
}
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34

输出结果如下：

最小生成树的路径以及对应的权重依次为: 
(2-1) 4
(3-2) 2
(4-3) 6
(5-4) 8
(0-5) 1
(1-6) 3
最小生成树的权重为: 24
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3.应用

（1）求图的最小生成树许多实际应用，例如城市之间的交通工程造价最优问题就是一个最小生成树问题。

（2）大家可以去 LeetCode 上找相关的最小生成树的题目来练习，或者也可以直接查看 LeetCode 算法刷题目录 (Java) 这篇文章中的最小生成树章节。如果大家发现文章中的错误之处，可在评论区中指出。