理解机器学习中的线性回归与逻辑回归_假设机器学习模型为y= f(x),请给出线性回归与逻辑回归所对应的损失函数名称和数学

1、线性回归

1.1 什么是线性回归？

我们先来看一个例子，如下图：给定x和y的关系

求x=13时，y的值为多少？

这里，很容易想到方程为y=x ，然后解得y=13
这就是线性回归。
线性回归说白了，就是给我们一些数据，让我们找一条直线来拟合这些数据。

1.2 如何进行线性回归

1.2.1 拟合

但是，实际问题中，x，y的分布，可能是这样的

这时，我们该如何计算y的值？

设此时的方程为y=kx+b
我们可能会找到很多方程，假设我们找到其中一条的方程的 k=0 ,b=4
当然我们也可能找 k=1 ，b= 3 的直线。
下图是 k=2，b= -5 时的拟合效果，即 $y=2\ast x-5$

那么，到底如何判断我们找的直线的拟合效果呢？

1.2.2 判断拟合效果

我们可以这样做：
计算所有点与该点的欧式距离 ：

例如当x=3时 对应方程 $y=2\ast x-5$ 的 y坐标为(3,1)，
计算 (3,2) 与 (3,1) 点的距离 为 1
然后计算 x=5 时，(5,5) (5,6)两个点距离，
最后把所有点的距离相加

总距离 = $\sqrt{(2-1{)}^2}+\sqrt{(6-5{)}^2}+\sqrt{(9-9{)}^2}+\sqrt{(11-11{)}^2}$

我们以这个值的大小作为判断该曲线是否拟合的好
不过，数学家用 残差平方和(RSS) 来衡量：
即 刚刚的式子不开根号
RSS= $(2-1{)}^2+(6-5{)}^2+(9-9{)}^2+(11-11{)}^2$
RSS的值越小，表明该函数与原数据拟合的越好。

1.2.3 如何求解最佳拟合曲线

这里我们对RSS进行一般化表示,在方程 $\hat{y}=k\ast \hat{x}+b$ 中：
RSS= $(\widehat{y_1}-y_1{)}^2+(\widehat{y_2}-y_2{)}^2+(\widehat{y_3}-y_3{)}^2+....+(\widehat{y_n}-y_n{)}^2$ = $\sum _{i=1}^n(\widehat{y_i}-y_i{)}^2$

由于 $\widehat{y_i}=k\ast \widehat{x_i}+b$ ，所以

RSS= $(k\ast \widehat{x_1}+b-y_1{)}^2+(k\ast \widehat{x_2}+b-y_2{)}^2+....+(k\ast \widehat{x_n}+b-y_n{)}^2$ = $\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i{)}^2$

现在要求RSS的最小值，我们只要算得RSS方程中导数为0的点即可
令$f(k,b)=\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i{)}^2$
只要求出导数最为0的点就可求出 k，b
第一步
首先对k求偏导$\frac{\partial f(k,b)}{\partial k}=2\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i)\widehat{x_i}=2k\sum _{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2+2b\sum _{i=1}^n\widehat{x_i}-2\sum _{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}$
令偏导为0
可得$2k{\sum }_{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2+2b{\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}=2{\sum }_{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}$
第二步
对b求偏导$\frac{\partial f(k,b)}{\partial b}=2\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i)=2\sum _{i=1}^{n}k\ast \widehat{x_i}+2nb-2\sum _{i=1}^n{y}_i$
令偏导为0
$2\sum _{i=1}^{n}k\ast \widehat{x_i}+2nb=2\sum _{i=1}^n{y}_i$
同除2n
$\Rightarrow k\bar{x}+b=\bar{y}$
第三步
将 $b=\bar{y}-k\bar{x}$ 带入第一步我们所求的式子中
可得
$k{\sum }_{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2+(\bar{y}-k\bar{x})\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}={\sum }_{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}$
$\Rightarrow k{\sum }_{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2+\bar{y}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}-k\bar{x}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}={\sum }_{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}$
$\Rightarrow k({\sum }_{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2-\bar{x}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i})={\sum }_{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}-\bar{y}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}$

$\Rightarrow k=\frac{({\sum }_{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}-\bar{y}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i})}{({\sum }_{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2-\bar{x}\ast {\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i})}$

到此我们已经把k求出来了，将k带回$b=\bar{y}-k\bar{x}$ 可以求出b

1.2.4 使用正规方程拟合

虽然上面已经求出k和b，但是这只是一元函数。但是，如过方程有三个变量，四个变量，那该如何下手？
例如一个三元方程: $f(x_1,x_2,x_3)=k_1\ast x_1+k_2\ast x_2+k_3\ast x_3+b$
再用上述方法来求解会非常复杂
于是我们将上述方程转换成矩阵形式

$f(k,b)=(k\ast \widehat{x_1}+b-y_1{)}^2+(k\ast \widehat{x_2}+b-y_2{)}^2+...+(k\ast \widehat{x_n}+b-y_n{)}^2$
$=$
[ ( k ∗ x 1 ^ + b − y 1 ) , ( k ∗ x 2 ^ + b − y 2 ) , ⋯   , ( k ∗ x n ^ + b − y n ) ] ∗ [ ( k ∗ x 1 ^ + b − y 1 ) ( k ∗ x 2 ^ + b − y 2 ) ⋮ ( k ∗ x n ^ + b − y n ) ] \left[

$$\begin{matrix} {(k*\hat{x_1}+b-y_1)},{(k*\hat{x_2}+b-y_2)}, \cdots,{(k*\hat{x_n}+b-y_n)}\\ \end{matrix}$$ \right]* \left[ $$\begin{matrix} {(k*\hat{x_1}+b-y_1)}\\ {(k*\hat{x_2}+b-y_2)}\\ \vdots \\ {(k*\hat{x_n}+b-y_n)}\\ \end{matrix}$$ \right] [(k∗x1​^​+b−y1​),(k∗x2​^​+b−y2​),⋯,(k∗xn​^​+b−yn​)​]∗⎣⎢⎢⎢⎡​(k∗x1​^​+b−y1​)(k∗x2​^​+b−y2​)⋮(k∗xn​^​+b−yn​)​⎦⎥⎥⎥⎤​
令$$\theta =\left[\begin{array}{c}k\\ b\end{array}\right]$$
令$$X=\left[\begin{array}{c}\widehat{x_1},1\\ \widehat{x_2},1\\ ⋮\\ \widehat{x_n},1\end{array}\right]$$
令$$Y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$
原方程=$($$X\theta -Y{)}^T(X\theta -Y)$
接下来，只要对$\theta$求导，我们就可以得到正规方程
那么，如何对一个矩阵求导？矩阵求导到底是什么？

1.2.4.1 矩阵的求导

在介绍矩阵求导前，先了解一下标量函数与向量函数
标量函数： $f(x)=x^2$ 即输出为一个值
向量函数： f ( x ) = [ x x 2 ] f(x)=\left[

$$\begin{matrix} x\\ x^2\\ \end{matrix}$$ \right] f(x)=[xx2​] 输出为一个矩阵
矩阵求导的本质：
$\frac{dA}{dB}$矩阵A中的每个元素对矩阵B中的每一个元素求导

标量函数对向量求导
求$\frac{df(x)}{dX}$：
其中$f(x)=f(x_1,x_2,...x_n)$
X = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] X=\left[

$$\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\\ \end{matrix}$$ \right] X=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​
标量函数对矩阵的结果为
$\frac{df(x)}{dX}=\left[\begin{array}{c}\frac{df(x)}{d{x}_1}\\ \frac{df(x)}{d{x}_2}\\ ⋮\\ \frac{df(x)}{d{x}_n}\end{array}\right]$
向量函数对标量求导
$f(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_n(x)\end{array}\right]$
向量函数对标量求导的结果为
$\frac{df(x)}{dx}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{f}_1(x)}{dx},\frac{d{f}_2(x)}{dx},\cdots ,\frac{d{f}_n(x)}{dx}\end{array}\right]$
向量函数对向量求导
$f(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_n(x)\end{array}\right]$
更具标量对向量以及向量对标量，我们可得向量函数对向量求导的结果为
$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$
$\frac{df(x)}{dX}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{f}_1(x)}{d{x}_1},\frac{d{f}_2(x)}{d{x}_1},\cdots ,\frac{d{f}_n(x)}{d{x}_1}\\ \frac{d{f}_2(x)}{d{x}_2},\frac{d{f}_2(x)}{d{x}_2},\cdots ,\frac{d{f}_n(x)}{d{x}_2}\\ ⋮\\ \frac{d{f}_n(x)}{d{x}_n},\frac{d{f}_2(x)}{d{x}_n},\cdots ,\frac{d{f}_n(x)}{d{x}_n}\end{array}\right]$

1.2.4.2 常见的矩阵求导公式推导

$f(x)=A^{T}X=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$
求 $\frac{df(x)}{dX}$ 对X求导
其中$A=[a_1,a_2,...,a_n]$
很明显，这里 f(x)为标量，X为向量
所以，结果为
d f ( x ) d X = [ d f ( x ) d x 1 d f ( x ) d x 2 ⋮ d f ( x ) d x n ] = [ d ( a 1 x 1 ) d x 1 d ( a 2 x 2 ) d x 2 ⋮ d a n x n d x n ] = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] = A \frac {df(x)} {dX}=\left[

$$\begin{matrix} \frac {df(x)} {dx_1}\\ \frac {df(x)} {dx_2}\\ \vdots \\ \frac {df(x)} {dx_n}\\ \end{matrix}$$ \right]= \left[ $$\begin{matrix} \frac {d(a_1x_1)} {dx_1}\\ \frac {d(a_2x_2)} {dx_2}\\ \vdots \\ \frac {da_nx_n} {dx_n}\\ \end{matrix}$$ \right]= \left[ $$\begin{matrix} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n\\ \end{matrix}$$ \right]= A dXdf(x)​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​dx1​df(x)​dx2​df(x)​⋮dxn​df(x)​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​dx1​d(a1​x1​)​dx2​d(a2​x2​)​⋮dxn​dan​xn​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​a1​a2​⋮an​​⎦⎥⎥⎥⎤​=A
由于$f(x)=X^{T}A=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$
所以$f(x)=X^{T}A,和f(x)=A^{T}X对矩阵X的导为A$

1.2.4.3 正规方程的推导

由于原方程=$($$X\theta -Y{)}^T(X\theta -Y)=({\theta }^T{X}^T-Y^T)(X\theta -Y)={\theta }^T{X}^{T}X\theta -{\theta }^T{X}^{T}Y-Y^{T}X\theta +Y^{T}Y$
对$\theta$求导数的结果为
$2X^{T}X\theta -2X^{T}Y$
令原始为 0
可以求得$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$ (正规方程)
现在，即使是多元函数，我们也可以方便求解了

1.2.4.4 在python中用正规方程实现线性回归

知道了原理，接下来，使用代码来实现一下回归。

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from numpy.linalg import inv

date = np.loadtxt("./date/aqi.csv", delimiter=",", skiprows=1, dtype=np.float32) 
 # delimiter:   以逗号分开                dtype:加载时的数据类型
 # skiprows:删除第一条数据(标题)
index = np.ones((date.shape[0], 1)) # 生成一列全部为1的数据  （正规方程需要多一列的数据）
date = np.hstack((date, index))     # 插入一列
x = date[:, 1:]                     # 截取行(第0行到最后一行),列(第1行到最后一列)
y = date[:, 0]                      # 截取行(第0行到最后一行),列(第0列)
# print(x)

# 将数据分隔为训练集和验证集
train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(x, y, train_size = 0.7)
 # 百分之80的数据为训练集,20为验证集
theta = np.dot(np.dot(inv(np.dot(train_x.T, train_x)), train_x.T), train_y)   # 正规方程
# np.dot()矩阵相乘    inv() 求逆    .T 转置 
predict = np.dot(test_x, theta)
print(test_x[:, 0])
print(predict)

import matplotlib.pyplot as plt		# 对预测结果与实际结果进行显示，比较
plt.plot(range(len(test_y)), test_y, c="red", alpha=0.5)
plt.plot(range(len(test_y)), predict, c="blue", alpha=0.5)
plt.show()
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其中aqi.csv的数据为

x,y
1,1.1
2,2.3
3,3.1
4,4.5
5,5.4
6,6.7
7,7.8
8,9
9,9.7
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1.2.5 使用梯度下降拟合

1.2.5.1 什么是梯度下降

举个例子，在方程$y=x^2$中，我们如何求该函数的最小值？
由于该方程比较简单。我们可以直接得出，当x为0 时，y最小为0
但是，在方程$y=-x_1^2+6x_2^2+3x_3^2-5x_4^2$中，我们如何求他的最小值呢？

这时候，梯度下降的优势就体现出来了。
还是从$y=x^2$开始，要求得y的最小值，我们可以给x随机取一个值，判断在改点的导数大小，如果导数大于0，说明y在增大，我们后退一点；如果导数小于0，说明y在减小，就对x增大一些。

具体的方程为: $x$的更新值=上一次$x的值-k\ast \frac{dy}{dx}$,然后对该方程进行迭代
其中k为我们随机取的一个小数。
实现过程：

第一步 首先我们随机取x，令x=-10，随机取k，令k=0.1,
很明显$\frac{dy}{dx}=2x$，带入更新方程： $x$的更新值=上一次$x的值-k\ast \frac{dy}{dx}$
$X=-10-0.1\ast 2\ast (-10)=-8$
第二步 对方程进行迭代，刚刚得到的x为-8，所以新的x值为
$X=-8-0.1\ast 2\ast (-8)=-6.4$
迭代5次后，得到的图像为上图所示
方程代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = -10
A = [-10]
B = [100]
for i in range(5):  # 迭代5次
    y = 2*x         # 导数为2x
    x = x-0.1*y     # 更新方程
    A.append(round(x, 2))
    B.append(round(x*x, 2))

x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y = x*x

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
for xy in zip(A, B):
    ax.annotate('(%s, %s)' % xy, xy=xy, textcoords='data')  # 绘制(x,y)
plt.plot(A, B, "ro")  # 绘制点
plt.plot(x, y)
plt.title("")
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下图是迭代10次后的结果：

这里，可以发现，随着迭代次数的增加，方程会越来越接近最小值。

好了，现在回到原来的问题，如何求方程$y=-x_1^2+6x_2^2+3x_3^2-5x_4^2$的最小值。这个问题似乎还是有点难！
知道了一元函数，我们还是从二元函数入手。
现在，求 $z=x^2+y^2$的最小值
第一步 随机取，x和y的值 ，这里 我们 取 (x=3,y=4) ,取k为0.1，
$\frac{dz}{dx}=2x$, $\frac{dz}{dy}=2y$ ,
(x,y)=(3,4)-0.1(6,8)=(2.4,3.2)
第二步 对x，y进行迭代，刚刚求得的(x,y)=(2.4,3.2)，
新一轮的结果为(x,y)=(2.4,3.2)-0.1(4.8,6.4)=(1.92,2.56)
迭代5次的效果图为下图所示：

我们发现红点渐渐向最低点移动了
迭代源码：

from matplotlib import pyplot as plot  # 用来绘制图形

import numpy as np  # 用来处理数据

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # 用来给出三维坐标系。

figure = plot.figure()

# 画出三维坐标系：
axes = Axes3D(figure)
X = np.arange(-5, 5, 0.25)
Y = np.arange(-5, 5, 0.25)

x = 3
y = 4  # 初始 x 与 y 的坐标
A = [3]
B = [4]
C = [25]   # A B C 存放 x，y，z的坐标变化
for i in range(5):  # 循环5次
    x = x-0.1*2*x
    y = y-0.1*2*y
    A.append(round(x, 2))
    B.append(round(y, 2))
    C.append(round(x*x+y*y, 2))

# 限定图形的样式是网格线的样式：
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = (X) ** 2 + (Y) ** 2

# 绘制曲面，采用彩虹色着色：
axes.scatter(A, B, C, c='r', marker='o')
axes.plot_surface(X, Y, Z, cmap='rainbow')

# 图形可视化：
plot.show()
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下图为迭代100次的效果图：

在这里，k有个专业的名称，称之为学习率，一般用$a$代替

1.2.5.2 梯度下降拟合线性回归流程

原方程为$f(k,b)=\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i{)}^2$
要求f(k,b)的最小值，
第一步 和之前的做法类似，首先任意取k和b的值，取a为0.1，求得$\frac{\partial f(k,b)}{\partial k},\frac{\partial f(k,b)}{\partial k}$后，带入$(\widehat{x_i},y_i)$，设带入后的结果为 A,B

根据之前的梯度下降算法，得(k,b)=(k,b)-0.1(A,B)
第二步 对(k,b)做反复迭代。

1.2.5.3 梯度下降拟合实例

还是之前的x，y分布

现在，用梯度下降来拟合
第一步 任意取k和b，令 k=1，b=6，这里a要取的稍微小些，取a=0.001，
首先对k求偏导$\frac{\partial f(k,b)}{\partial k}=2\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i)\widehat{x_i}=2k\sum _{i=1}^n{\widehat{x_i}}^2+2b\sum _{i=1}^n\widehat{x_i}-2\sum _{i=1}^n{y}_i\widehat{x_i}$
然后对b求偏导$\frac{\partial f(k,b)}{\partial b}=2\sum _{i=1}^n(k\ast \widehat{x_i}+b-y_i)=2\sum _{i=1}^{n}k\ast \widehat{x_i}+2nb-2\sum _{i=1}^n{y}_i$
k和更新后的值为(k,b)=$(1,6)-0.001\ast （(2\ast 1\ast （3^2+5^2+7^2+8^2）+2\ast 6\ast （3+5+7+8）-2\ast （2\ast 3+5\ast 6+7\ast 9+8\ast 11）,(2\ast k\ast (3+5+7+8)+2\ast 4\ast 6-2\ast (2+6+9+11)$=(0.804,5.971)
第二步 对k和b的值进行反复的迭代
迭代到50次的k为0.39，b为5.57，图像如下图所示

迭代50次的python源码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
k = 1
b = 6
x = [3, 5, 7, 8]
y = [2, 6, 9, 11]
A = []
B = []
xsum = 0  # x1*x1+x2*x2+...
xxsum = 0  # x1+x2+x3+x4..
ysum = 0
yysum = 0
xysum = 0  # x1*y1+x2*y2+...
f=0
for i in x:
    xsum += i*i
for i in x:
    xxsum += i
for i in y:
    ysum += i*i
for i in y:
    yysum += i
for i in range(len(x)):
    xysum += x[i]*y[i]

for i in range(50):  # 循环50次
    k = k-0.001*(2*k*xsum+2*b*xxsum-2*xysum)
    b = b-0.001*(2*k*xxsum+2*4*b-2*yysum)
    A.append(round(k, 2))
    B.append(round(b, 2))
f = 0
for i in range(len(x)):
    f += (k * x[i] + b - y[i]) ** 2
print("loss={},k={},b={}".format(f, k, b))
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
for xy in zip(x, y):
    ax.annotate('(%s, %s)' % xy, xy=xy, textcoords='data')  # 绘制(x,y)

x1 = np.arange(0, 10, 0.01)
y1 = k * x1 + b
plt.plot(x1, y1)
plt.plot(x, y, "ro")  # 绘制点
plt.title("")
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当迭代到1000次时，k，b如下图所示：

此时k=1.11，b=0.98
当迭代到10000次时，可以看出，已经和直线非常拟合了，
此时的k=1.76，b= -3.13

1.3 用sklearn实现线性回归

1.3.1 sklearn中有自带实现线性回归的库

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import linear_model #线性模型
import numpy as np
date = np.loadtxt("./date/aqi.csv", delimiter=",", skiprows=1, dtype=np.float32)  # delimiter:以,分开 dtype:加载时的数据类型
x = date[:, 1:]
y = date[:, 0]
train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(x, y, train_size=0.7)
model = linear_model.LinearRegression()     # 线性回归模型对象
model.fit(train_x, train_y)
print(model.coef_) #　系数 (权重)
print(model.intercept_) # 截距 (偏置)

y_predict = model.predict(test_x)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ["SimHei"] # 支持中文
plt.title("预测")
plt.xlabel("x 轴")
plt.ylabel("y 轴")
plt.scatter(test_x, test_y, c="r")     # 画点
plt.plot(test_x, y_predict, c="blue")  # 画直线
plt.show()
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1.3.2 机器学习中模型的保存 与 调用

如何把训练好的模型保存下来？

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import linear_model #线性模型
import numpy as np
import pickle
date = np.loadtxt("./date/aqi.csv", delimiter=",", skiprows=1, dtype=np.float32)  # delimiter:以,分开 dtype:加载时的数据类型
x = date[:, 1:]
y = date[:, 0]
train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(x, y, train_size=0.7)
model = linear_model.LinearRegression()     # 线性回归模型对象
model.fit(train_x, train_y)

with open("model.pickle", "wb") as f:  # 模型的保存
    pickle.dump(model, f)
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调用自己训练好的模型

import pickle

with open("model.pickle", "rb") as f:
    model = pickle.load(f)
test = [[23]]
y_predict = model.predict(test)
print(y_predict)
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2、逻辑回归

2.1 什么是逻辑回归？

假设有一批数据，让你求x=13时，y的值为多少。其中y的值只为0或者1

我们首先用刚刚的线性回归的方法，进行拟合直线

然后把x=13带入方程，这里求得的k为0.23，b为-0.86，求得y为2.13。
现在，如何判断y的值呢？
首先，我们刚刚的拟合方法是有些问题的，因为y不是连续函数。
在这里，我们显然只要找一条直线，只要将两类数据划分开来就行了。我们随机划分一条直线，

上图为，k=0.15,b=-0.4 时$\hat{y}=kx+b$的图像。接下来如何算x=13时，y的值呢？
我们可以这样，首先分别计算，x为3,5,7,8时 ，$\hat{y}$的取值
x=3时，$\hat{y}=0.15\ast 3-0.4=0.05$
x=5时，$\hat{y}=0.15\ast 5-0.4=0.35$
x=7时，$\hat{y}=0.15\ast 7-0.4=0.65$
x=8时，$\hat{y}=0.15\ast 8-0.4=0.8$
然后，我们现在取一个在x=5和x=7时，$\hat{y}$的值作为分界线(0.35,0.65)
我们随机取值为 0.5，即$\hat{y}$大于0.5,y为1;$\hat{y}$小于0.5,y为0
接下来算x=13时，$\hat{y}$=0.15*13-0.4=1.55
因为$\hat{y}$>0.5所以y的值为 1
但是，我们画出的图像却是这样的

我们原本是想用这条直线来划分两类，但是由于数据的增加，我们不得不重新选择k与b的值了。
那么有没有什么办法把这条直线映射到另一个方便观察的线条呢？

数学家把他映射到了$y=\frac{1}{1+e^{-z}}$

上图，我们可以看出，该线条很好的映射出了$\hat{y}$与y的映射关系。该函数称为sigmoid函数，也叫logistic函数。
逻辑回归实际上解决的是分类问题，即如何把离散的点映射到线段。那么为什么不叫逻辑"分类"。据说因为它是从线性回归推导过来的。

2.2 逻辑回归的损失函数

2.2.1 为什么不能用线性回归时的残差平方和做为损失函数？

在线性回归中我们的损失函数为，RSS=$\sum _{i=1}^n(\hat{y}-y_i{)}^2$ 其中 $\hat{y}=k\ast \widehat{x_i}+b$
在逻辑回归中，我们的$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-y}}$其中 $y=k\ast \widehat{x_i}+b$，如果我们也用RSS。$RSS=(1-0.78{)}^2+(1-0.66{)}^2+(1-0.63{)}^2+0.57^2+0.51^2$
看起来用这个损失函数，似乎也没有什么问题。但是使用该函数作为损失函数，如果使用梯度下降法的话，会产生多个局部最优解。为什么还会有多个局部优？
设损失函数为f(k,b)=$\sum _{i=1}^n(\frac{1}{1+e^{-(k\ast \widehat{x_i}+b)}}-y_i{)}^2$ ，要求出$\frac{\partial f(k,b)}{\partial k}$
我们先化简方程$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-y}}$的导数，$\frac{\partial \hat{y}}{\partial y}=\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y}{)}^2}=\frac{1+e^{-y}-1}{(1+e^{-y}{)}^2}=\hat{y}-{\hat{y}}^2$，求出$\hat{y}$导后， 这里只是其中一个项的导数$\frac{\partial f(k,b)}{\partial k}=2(\hat{y}-y_i)\ast (\hat{y}-{\hat{y}}^2)\ast \widehat{x_i}$
想要判断其凹凸性，我们需要对其做二阶导数=$\frac{\partial (2(\hat{y}-y_i)(\hat{y}-{\hat{y}}^2)\ast \widehat{x_i})}{\partial k}=\frac{\partial (2({\hat{y}}^2-{\hat{y}}^3-\hat{y}{y}_i+{\hat{y}}^2{y}_i)\ast \widehat{x_i})}{\partial k}=2\widehat{x_i}(2\hat{y}-3{\hat{y}}^2-y_i+2\hat{y}{y}_i)\ast (\hat{y}-{\hat{y}}^2)\ast \widehat{x_i}$

2.2.2 函数的二阶导数

函数的二阶导数有什么特性呢？
例如方程$y=x^2$中，函数的一阶导为2x，所以在左半轴，导数小于0，y值逐渐减小；在右半轴，导数大于0，y值逐渐变大。函数的二阶导为2，所以无论x取何值，二阶导恒大于0，

我们可以看到，二阶导大于0时，为凸函数，

接下来，我们对刚刚的导数$2\widehat{x_i}(2\hat{y}-3{\hat{y}}^2-y_i+2\hat{y}{y}_i)\ast (\hat{y}-{\hat{y}}^2)\ast \widehat{x_i}$进行分析，
假设$y_i=0,\hat{y}$在(0,1)内时，方程=$2{\widehat{x_i}}^2(2\hat{y}-3{\hat{y}}^2)\ast (\hat{y}-{\hat{y}}^2)$
由于$\hat{y}$在(0,1)时，$2{\widehat{x_i}}^2$恒大于0，$(\hat{y}-{\hat{y}}^2)$恒大于0，$2\hat{y}-3{\hat{y}}^2$有正有负,所以凹凸性都存在。所以使用残差平方和不能作为逻辑回归的损失函数。
为了求逻辑回归的损失函数，我们需要知道什么是最大似然估计

2.3 最大似然估计

什么是最大似然估计？

举一个别人博客的一个例子。

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的4次重复记录中，有1次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

很多人马上就有答案了：$\frac{1}{4}$
为什么大家都会想到$\frac{1}{4}$
假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。
极大似然函数的思想就是：使之前出现的场景概率最大。
例如刚刚的场景：取到3次黑球，一次白球，写成函数即：
$y=(1-p)\ast (1-p)\ast (1-p)\ast p$, 我们画出它的图像

从图像可以看出，p为0.25时，y的最大值为0.10546875。
这不是我们刚刚估计的结果值嘛，不过这是刚刚用计算机跑出来的结果！
现在，再用方程的思想来解y的最大值，由于ln()函数具有很好的单调性，而且可以把连乘拆分。
所以要求$y=(1-p)\ast (1-p)\ast (1-p)\ast p$的最大值，就等价与求$ln(y)=ln((1-p)\ast (1-p)\ast (1-p)\ast p)$的最大值。
求$ln(y)$的最大值，只需要对p求导，并且让其导数为0即可。
原始=$ln(1-p)+ln(1-p)+ln(1-p)+ln(p)$,求导后=$-\frac{3}{1-p}+\frac{1}{p}$
令其为0，解得p为0.25，这与之前用计算机跑出的结果一致。

2.4 逻辑回归的损失函数

了解了极大似然估计，理解逻辑回归的损失函数就很简单了。
首先，logistic函数表示的是一个概率值，$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-y}}$，如果真实值为1，那么$\hat{y}$越大，表明效果越好；如果真实值为0，那么$\hat{y}$越小，表明效果越好。
我们随机找一个函数:$f(\hat{y},y_i)$,当$y_i$为1时,损失函数为$1-\hat{y}$，当$y_i$为0时,损失函数为$\hat{y}$。
写出最大似然函数$={\prod }_{i=1}^n(1-\hat{y}{)}^{1-y_i}\ast {\hat{y}}^{y_i}$，当$y_i$为1时，$\hat{y}$有效，且$\hat{y}$越大，似然函数越大
根据最大似然函数的值，我们可以知道似然函数的最大值，就是最接近结果的真实值，对似然函数取log的话，$\sum _{i=1}^n[(1-y_i)log((1-\hat{y}))+y_{i}log(\hat{y})]$，加负号的话就成了损失函数。因为损失值的话是越小越好，所以logistic的损失函数为loss=$-\sum _{i=1}^n[(1-y_i)log((1-\hat{y}))+y_{i}log(\hat{y})]$