【信号与系统】（二十一）拉普拉斯变换与复频域分析——拉普拉斯变换及其性质_反因果信号的拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换及其性质

傅里叶变换：$jw$
拉普拉斯变换：$s=\sigma +jw$

1 双边拉普拉斯变换的定义

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子$e^{-\sigma t}$（$\sigma$为实常数）乘信号$f(t)$，适当选取$\sigma$的值，使乘积信号$f(t)e^{-\sigma t}$当$t\to \infty$时信号幅度趋近于0 ，从而使$f(t)e^{-\sigma t}$的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为：

2 收敛域

只有选择适当的$\sigma$值才能使积分收敛，信号$f(t)$的双边拉普拉斯变换存在。

收敛域：使 $f(t)$ 拉氏变换存在的$\sigma$取值范围。

2.1 因果信号

因果信号的收敛域在某一条直线之右。

2.2 反因果信号

反因果信号的收敛域在某一条直线之左。

2.3 双边信号

双边信号的收敛域在两条直线之间。

结论：

(1) 对于双边拉普拉斯变换而言，$F_b(s)$和收敛域一起，可以唯一地确定$f(t)$。即：

(2) 不同的信号可以有相同的$F_b(s)$，但收敛域不同。

3 （因果信号）单边拉氏变换的定义

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，$t<0$时，$f(t)=0$。从而拉氏变换式写为
$$F(s)={\int }_{0_{-}}^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t$$

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是$Re[s]>\alpha$，可以省略。

$\epsilon (t)$：单边，$t$小于零部分$f(t)$值为零。

4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

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备注：
$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

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当$w\ne 0$时，
$$\underset{\sigma \to 0}{\lim }\frac{\sigma }{{\sigma }^2+{\omega }^2}=0=\pi \delta (\omega )$$

当$w=0$时，极限值为无穷大，等价于冲激函数$\delta (w)$，面积为$\pi$：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sigma }{{\sigma }^2+{\omega }^2}d\omega =\arctan (\frac{x}{\sigma }){|}_{-\infty }^{+\infty }=\pi$$
即$\pi \delta (w)$。

5 常见信号的拉普拉斯变换

6 拉普拉斯变换的性质

6.1 线性、尺度变换

6.2 时移、复频移特性

6.3 时域和复频域的微积分特性

我们可以通过求原函数倒数的拉氏变换来求原函数的拉氏变换。

6.4 卷积定理

6.5 初值、终值定理

7 拉普拉斯反变换

直接利用定义式求反变换—复变函数积分，比较困难。常用的方法 :
（1）查表 ;

（2）利用性质;

（3） 部分分式展开 ----- 结合

若象函数$F(s)$是 $s$ 的有理分式，可写为

若$m\ge n$ （假分式）, 可用多项式除法将象函数$F(s)$分解为有理多项式$P(s)+有理真分式$

例如：

$P(s)$的拉普拉斯逆变换由冲激函数($\delta$)及其各阶导数(${\delta }^{\prime }$，${\delta }^{\prime \prime }$…)构成。

下面主要讨论有理真分式。

部分分式展开法

$$\frac{1}{s-(-\alpha +j\beta )}\to e^{(-\alpha +j\beta )t}$$

$$\frac{1}{s-(-\alpha -j\beta )}\to e^{(-\alpha -j\beta )t}$$

由欧拉公式，得到：

$$e^{j\theta }\cdot e^{(-\alpha +j\beta )t}+e^{-j\theta }\cdot e^{(-\alpha -j\beta )t}$$
$$=e^{-\alpha }(e^{j(\theta +\beta t)}+e^{-j(\theta +\beta t)})$$
$$=2e^{-\alpha }\cos (\beta t+\theta )$$

真分式：


假分式：

中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟