归并排序与快速排序_归并排序和快速排序

归并排序和快速排序都使用了分治法，但二者又有区别。
归并排序的计算量和难点在于合（子任务的解进行合并），而快速排序在于分（子任务或子序列的划分）

一、归并排序

1、原理与实现

（1）分治法

归并排序是分治策略在算法中的又一典型。

• 将待排序列一分为二，简单的分为左右两部分。O(n)
• 之后对两个子序列递归的排序。2 * T(n / 2)
• 合并有序子序列O(n)

T(n) = 2T(n/2) + O(n) = O(nlogn)

（2）实现

（3）实例

（4）复杂度

归并排序的最好，最坏，平均时间复杂度都为O(nlogn)。

空间复杂度是O(n)。在合并的过程中采用了tmp临时数组。

是稳定排序算法。

二、快速排序

1、原理与实现

（1）分治法

这是基于分治法的又一典型算法。

将序列分为两个子序列 S= SL + SR // O(n)

• 规模缩小
• 彼此独立：max(SL) <= min(SR)

在子序列分别递归的排序之后，原序列自然有序

• sorted(S) = sorted(SL) + sorted(SR)

平凡解：只剩单个元素时，本身就是解

（2）轴点

轴点（pivot）：凡是居于它左侧的元素都不比它更大，凡是居于它右侧的元素都不比它更小。
以任意一个轴点为界，原序列可划分成左小右大两个子序列：
[lo, hi) = [lo, mi) + [mi] + (mi, hi)

所以如果我们可以在任意一个序列中找到轴点，那么我们可以通过递归得到有序序列。所以快速排序的核心就在于如何找到轴点

然而在原始序列中，轴点未必是存在的。如任何一个有序序列只要经过一次循环移位，就可得到不存在轴点的序列（2、3、4、……、n、1）。虽然轴点未必天然存在，但是我们可以适当地交换，可使任一元素转换为轴点。
我们可知在有序序列中，所有元素都是轴点。同样的只要一个序列中的所有元素都是轴点，那么这个序列就是有序的。所以快速排序可以看做是将所有元素逐个转换为轴点的过程。

（3）构造轴点——partition算法

首先随机选取一个数作为轴点候选，通常取作首元素。而后使用两个指针lo和hi，这两个指针可以将序列分为三个L、U、G子序列。其中L<=pivot，pivot<=G，而U是尚未排序的序列。初始状态下U是整个序列，而L、G皆为空。在算法进行过程中，lo和hi相互接近，扩大L和G，缩小U。

在算法进行过程中要保证：

1. L <= pivot <= G
2. 在U = [lo, hi]中，[lo]和[hi]交替空闲。

在初始状态下，无论L和G都是空的，所以第一条满足。同样的，由于首元素已经作为轴点候选被取出备份，所以elem[lo]是（逻辑上）空闲的。
接下来，检查U的末元素elem[hi]，如果pivot <= elem[hi]则hi–。之前的元素自动的归入G中，而U少了一个元素。这个过程重复执行下去直至pivot > elem[hi]，这时elem[hi]严格的满足了L的条件，则将其转换到空闲单元elem[lo]中，即elem[lo] = elem[hi]。尽管elem[lo]不再是空闲的，但elem[hi]则变成空闲的了。之后要做的正好与之前相反。这时再检查U的首元素elem[lo]，如果elem[] <= pivot，则lo++。之前的元素自动的归入L中，而U少了一个元素。这个过程重复执行到pivot < elem[lo]。这时elem[lo]严格的满足了G的条件，则将其转换到空闲单元elem[hi]中。至此整个算法经历了一个完整的周期。反复执行上述过程，直至子序列U只剩下一个单元时，我们只需要将候选轴点植入这个空闲单元，这时它就成为了一个名副其实的轴点了。我们也完成了对原序列的一次快速划分。

（4）实例

（5）性能分析

不稳定、就地（只需要常数个指针以及一个保存候选轴点的空间）

由于划分的结果是否均衡，完全取决于我们的运气，所以

• 最好情况：每次划分都接近均衡 $2T(n/2)+O(n)=T(n)=O(nlogn)$ // 到达下界
• 最坏情况：每次候选轴点都是最小或最大的元素$T(n)=T(n-1)+T(0)+O(n^2)$ // 与冒泡排序相当
• 平均性能：$O(nlogn)$

（6）改进

改进方案：改进选取枢轴的方法

1、选取随机数作为轴点。
但是随机数的生成本身是一种代价，根本减少不了算法其余部分的平均运行时间。

2、使用左端，右端和中心的中值做为轴点。
经验得知，选取左端，右端，中心元素的中值会减少了快排大约 14%的比较。

3、每次选取数据集中的中位数做轴点。
选取中位数的可以在 O(n)时间内完成。（证明见《算法导论（第二版） 》） P111 第九章中位数和顺序统计学：在平均情况下，任何顺序统计量（特别是中位数）都可以在线性时间内得到。

其他可以改进的地方 ：

快速排序在处理小规模数据时的表现不好

这个时候可以改用插入排序。
当数据规模小于一定程度时，改用插入排序。具体小到何种规模时，采用插入排序，这个理论上还不解，一些文章中说是 5 到 25 之间。SGI STL 中的快速排序采用的值是 10.

（7）变种

2、选取（selection）问题

• 第k大的元素（k-selection）
• 中位数
• 众数

因为排序算法复杂度高，所以我们需要另辟蹊径

（1）k-selection与中位数

k-selection：在任意一组可比较大小的元素中，如何由小到大，找到次序为k者？
median：上述问题的特例是如何找到中位数？

虽然中位数是k选择问题的特例，但也是难度最大的问题。

I. 选取：通用算法

蛮力：排序 + 扫描

1、尝试：堆A
堆结构的主要功能也是在做某种意义上的选取，也就是选取极值元素getMax()。而选取极值就是选取问题的特例。而选取问题也是getMax()的一般化推广。

这里我们需要的是小顶堆。连续调用k次delMin()后，整个堆的规模将变成n-k。而此时的堆顶应为所选取的元素。
就第一步建堆预处理Heapifiation()而言，性能并不差，只需要O(n)的时间，而delMin()的调用，时间却很长。每次都需要O(logn)的时间，总共是O(k*logn).

2、尝试：堆B
在数据集中任选k个元素，组织委大顶堆。（O(k)）
再对于剩余的n-k个元素，各调用一次insert()和delMax()操作将其插入一个元素并删除一个元素（规模：k–>k+1–>k）。需要注意的是，每次当规模从k变为k+1时，对应的堆顶元素都是迄今为止发现的秩为k的那个元素。因此当所有元素都经过如此处理之后，当这个堆的规模最后一次到达k+1时，这时的堆顶元素就是全局秩为k的那个元素。（O(2*(n-k)*logk)）
可是这个方法的时间复杂度依然不能得到有效地控制。

3、尝试：堆C

这里我们将使用两个而不是一个堆。
首先我们从数据集中取k个元素，构建大顶堆H。再将剩余的n-k个元素构建成小顶堆G。我们将反复比较两个堆顶，只要h>g，我们就令二者交换，然后分别通过一次下滤，将这两个堆复原。这个迭代将一直进行下去，直到h<=g。一旦达到这个状态，堆G的堆顶元素就是我们需要查找的目标。但是同样的，他在最坏情况下的复杂度依然不能得到有效控制。

II. 减而治之——quickSelection()

借用partition算法实现的quickSelection()。
在最好情况下：选取的轴点就是我们要需要的第k个元素，这时的计算量只不过是O(n)。
虽然在一般情况下，轴点并不一定是我们需要的第k个元素，但这依然可以有效的削减问题的规模。

通过以上两种情况，我们都可以有效的削减问题的规模，这样一个削减的过程将持续进行下去。在整个问题的规模退化到平凡问题之前，我们迟早会找到目标元素

虽然在构造轴点的内循环，每趟只需线性的时间，但我们无法控制外循环的执行次数。虽然通常情况下外循环只需执行常数次，但在最坏情况下依然需要n次。因此就最坏情况而言，这个算法依然不是最优的。

III. linearSelect()

在quickselect算法的基础上改进的选取算法，在最坏情况下也只需要线性的时间

需要用到常数Q

0. linearSelect()算法以递归形式给出，所以需要准备好递归基。就是当问题的规模已经足够小时（$n=|A|<Q$），我们就可以调用任意一种平凡的选取算法。
1. 接着我们将数据集均匀的切分成若干组，每一组都是一个随机的序列（规模统一取作Q）。这时我们将得到n/Q个子序列。
2. 接着我们对每一个子序列进行排序，这里并不需要注意排序的效率。之后我们就可以直接得到每一个子序列的中位数。所以我们也有n/Q个中位数。
3. 然后我们通过递归调用linearSelect()算法，从这些中位数中找到他们的中位数，也就是中位数的中位数。我们将其记作M
4. 我们以中位数的中位数为基准，对整个数据集中元素进行分类。也就是小于M的为L，等于M的为E，大于M的为G。
5. 若k落在L中，则将E、G剪除,再对L进行递归。若k落在G中，则将L、E剪除，再对G进行递归。若k落在E中，则M即为全局中值。

时间复杂度：
将linearSelect()算法的运行时间基座T(n)
第零步：O(1)= O(QlogQ)//递归基：序列长度|A| <= Q
第一步：O(n)//子序列划分，只需要坐一趟线性的扫描
第二步：O(n)= O(1) * n/Q//对每一组序列进行排序，并进而找到其中位数。
第三步：T(n/Q)//从上一步所得到的n/Q个中位数中，递归的找到全局的中位数
第四部：O(n)//根据全局中位数，将整个集合分为三个子集，并分别计数——只需要一趟扫描
第五步：T(3n/4)//递归的解决已经缩小的新问题，新问题的规模一定会被有效的削减。

为什么新问题的规模一定会被有效的削减？

• 在于M的选取。在某种意义上，如上所确定的M必然不偏不倚。也就是说至少各有n/4个元素，不小于/不大于M 。所以无论我们剪除的是G+E还是L+E，新问题的规模绝不会大于此前问题规模的3n/4

T(n) = O(n) + T(n / Q) + T(3n / 4)

为使之解作线性函数，只需要保证：
n/Q + 3n/4 < n
或等价的
1/Q + 3/4 < 1

比如Q= 5，则存在常数c，使得
T(n) = cn + T(n/5) + T(3n/4)
T(n) = O(20cn) = O(n)
这的确是一个线性函数，但他的常系数很大，所以这个linearSelect()算法更多的是具有理论意义。

（2）众数

majority：在无序向量中，若有一半以上元素同为m，则称之为众数。
如在{3,5,2,3,3}中众数为3.
但在{3,5,2,3,3,4}中却不存在众数。

平凡算法：排序 + 扫描
但进一步的，若限制时间不超过O(n)，附加空间不超过O(1)呢？

不难验证，若众数存在，那众数必然为中位数。
同样的，只要能够找出中位数，我们就可以在线性时间内验证它是否是众数。
我们只需要遍历一趟数据集，再统计出目标元素的个数，即可验证。

但是这个目标很难实现，所以我们需要找到一个更弱的，更容易实现的必要条件。

减而治之

我们想以某种安全的方式缩小问题的规模，将在A中寻找众数的问题变为在A-P中寻找众数的问题。
若在向量A的前缀P（P为偶数）中，元素x出现的次数恰占一半，则A有众数仅当，对应的后缀A - P有众数m，且m就是A的众数。

既然最终总要花费O(n)的时间通过一次线性扫描来确定候选者是否为众数。所以我们只需要考虑A的确含有众数m的情况。

1. 若被剪除的元素x = m，则在排除前缀P之后，m与其它元素在数量上的差距保持不变（如：从浓度50+%的盐水中析出50%的一部分，剩余部分的浓度仍未50+%）
2. 若 x != m，则在排除前缀P之后，m与其它元素在数量上的差距不致缩小（如：{1,3,2,3,3}–>{2,3,3}–>{3}）（剪除不是众数的x后众数m的优势反而会扩大）