机器学习（吴恩达）--线性回归练习_机器学习线性回归计算题

学习内容：线性回归练习

学习时间：2020/9/24

教学视频、数据集等：

https://www.bilibili.com/video/BV1Xt411s7KY

代码实现：

https://github.com/boxes757/Machine-learning-exercises

学习笔记：

练习题目

1. 假设你是一家餐厅的CEO，正在考虑开一家分店，根据该城市的人口数据预测其利润
   （我们拥有不同城市对应的人口数据以及利润）
2. 假设你现在打算卖房子，想知道房子能卖多少钱？
   （我们拥有房子面积和卧室数量以及房子价格之间的对应数据）

相关工具（包）

numpy（计算，处理多维数组）、pandas（数据分析）、matplotlib.pyplot（绘图框架）

参数

• 代价函数（损失函数）
  
  注：除以2m的原因
  对于计算最小的J（θ）来说，在1/m的基础上除以2并不影响结果，而在利用梯度下降法时会利用到对θ进行求导，求导过程中平方求导后可以和1/2相乘而抵消

• 梯度下降函数
  

读取数据

示例：data = pd.read_csv(‘01-linear regression/ex1data1.txt’, names=[‘population’,‘profit’])
注：read_csv中有多种参数，对于不同文件需要改变参数，参考下面网站
https://www.cnblogs.com/traditional/p/12514914.html

• pycharm中.head()函数不显示
  pandas工具中的.head()函数作用是显示前五行的数据，而在pycharm中想要输出数据都需要使用print。所以应该写作print(xxx.head())。
  注：.tail()可以查看最后五行数据，.describe()可以查看数据的一些基本情况（平均值）

数据准备

1. 特征归一化：数据中的不同特征值（除了目标值的各列）可能会对目标值产生不同程度的影响。特征归一化可以使各特征值处于同一数量级，提高模型的收敛速度和精确度。
   常见的有两种方式：
   Z-score标准化：
           $z=\frac{x_i-\mu }{\delta }$

   其中μ和δ为对应特征的均值和标准差，量化后的特征将分布在[-1,1]

   最大最小标准化：
           $z=\frac{x_i-min(x_i)}{max(x_i)-min(x_i)}$

2. 对于代价函数中的X矩阵来说，第一列的1在进行矩阵乘法后，充当了方程的常数项。而在我们导入的数据中，仅有特征x1,x2,…,xn。所以我们应该对数据插入值为1的一列。

   在指定列中插入数据：Dataframe.insert(loc, column, value, allow_duplicates=False)
   
   图片来自：https://blog.csdn.net/W_weiying/article/details/85247436

3. 切片处理
   .iloc()函数 中括号
   示例：X = data.iloc[:,0:-1] 表示需要所有行，列从0（第一列）到 -1（-1不包括，所以到倒数第二列）
      Y = data.iloc[:,-1] 表示需要所有行的最后一列

4. 转换dataframe为矩阵
   我们导入数据后或是切片后，这些数据格式都为dataframe，在稍后计算时，需要将他们转换为矩阵格式
   示例：X.values 无括号 注：可用print(X.shape)查看矩阵维数
   若有如(97,)的维数（1没有显示），用Y=Y.reshape(97,1)修改并验证矩阵维数，否则会出现计算错误

代价函数表达式

        $J(\theta )=\frac{1}{2m}{\sum }_{i=1}^m(X\cdot \theta -Y{)}^2$

X · θ - Y 其实是矩阵的运算，得到的是一个m×1的矩阵，每行是各个样本数据的特征值(x1,x2,…,xn)代入线性回归方程所得的值与其正确目标值(最后一列，被分割去了Y矩阵)的差值。

• numpy.sum()
  示例：np.sum(a,axis = 0) a是数组或是矩阵等
  参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/85790648
  当axis缺省时，即将数组/矩阵中的元素全部加起来
  因为上述的得到m×1的矩阵，所以我们可以直接用.sum()求和矩阵各行相加的值

• numpy中@表示矩阵相乘
  X · θ → X @ θ

• θ矩阵初始化（一般给θ矩阵赋予零矩阵）
  zeros(shape, dtype=float, order=‘C’)
  返回来一个给定形状和类型的用0填充的数组；
  shape: (m,n) 矩阵的形状
  dtype:数据类型，可选参数，默认numpy.float64

• np.power(a,b) 进行a^b运算

• 获取矩阵行数
  代价函数中的1/2m，m代表矩阵行数，即样本数。
  可由len(X)获取矩阵行数，也可用X.shape[0]获取行数（[1]获取列数）

梯度下降表达式

        $\theta =\theta -\alpha \frac{1}{m}{X}^T(X\cdot \theta -Y)$

定义方法：def GradientDescent(X,Y,theta,alpha,times): 此函数中不断地变更θ，再代入代价函数，将所得到的代价函数值追加进入costs（列表）中（每个值与其迭代次数可绘制图），结束后返回存储代价值变化的costs列表，以及θ。

• 创建列表存储梯度的变化值
  用 costs = [] 可以创建列表
  用 costs.append(cost) 可以向列表中追加cost的值(即当前代价函数的值)

• 利用循环 for i in range(times) 不断地进行梯度下降
  注：range(start, stop[, step])
  start: 计数从 start 开始。默认是从 0 开始。例如range（5）等价于range（0， 5）;
  stop: 计数到 stop 结束，但不包括 stop。例如：range（0， 5） 是[0, 1, 2, 3, 4]没有5
  step：步长，默认为1。例如：range（0， 5） 等价于 range(0, 5, 1)

• 对于表达式中的α，一般取较小值
  注：如果α太小，梯度下降速率会很慢
    如果阿尔法太大，可能导致梯度无法收敛甚至发散
    可以按如下规律进行选取：0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1

正规方程

在线性回归中，正规方程可以看作是一种梯度下降的代替方法。
下列给出公式：
        $\theta =(X^T\cdot X{)}^{-1}\cdot X^T\cdot Y$

通过该公式，可以直接把θ计算出来

正规方程与梯度下降法优缺点：

若$X^T\cdot X$ 不可逆，可以考虑下列情况：

1. 特征中包含一些线性依赖的特征
2. 样本数量≤特征数量，需要删除一些特征，或考虑使用特征归一化

绘图

fig,ax = plt.subplots() 其中ax为图的实例
… …
plt.show()
参考：https://blog.csdn.net/sinat_35930259/article/details/80002213

• .plot()的参数
  
  线条、坐标点样式：https://blog.csdn.net/xuxinrk/article/details/80051238

• 表示坐标的时候，用到np.arange() 注：np.arange()与range()类似，注意区分，前者用在画图中，后者多数用在循环中，且注意拼写。
  示例：a = np.arange(4)
     输出：[0 1 2 3]

     for i in range(4):
     print(i);
     输出：0 1 2 3 (每步输出1个，范围从0到3)

• 可以用np.linspace分配数值，用来做坐标轴的值
  示例：np.linspace(0,25,100)代表产生以0~25的100个间距相等的数

• ax.scatter() 绘制散点图

• ax.plot() 绘制线性图
  示例：
  ax.plot(np.arange(times),costs,’-’,label=‘cost’)
  ax.legend() 其作用是将图像中线或点代表的东西（即将上一行的label显示出来）

  ax1.scatter(X[:,1],Y,label=‘training data’)
  ax1.plot(x,y_,’-b’,label=‘test data’)
  ax1.legend()

• ax.set()可以设置横纵轴的名字，标题的名字
  示例：ax.set(xlabel=‘times’,ylabel=‘cost’,title=‘times & cost’)

结果展示

• 单变量线性回归
  
  
• 多变量线性回归
  不同 $\alpha$ 下迭代次数与损失函数值的关系：
  

总结

线性回归的主要步骤：

1. 读取数据
2. 数据特征归一化
3. 数据加列（值为1）以及切片（后转矩阵）
4. 代价函数（返回代价函数的值，初始化θ为零矩阵）
5. 梯度下降函数（α取较小的值、返回存储代价值变化的costs列表，以及θ）