特征值与特征向量_r(a+ke)

目录：点我

思维导图下载：点我

一、概念与应用

由 $A\sim B$ 可知：

1. $A+kE\sim B+kE$ ，进而 $|A+kE|=|B+kE|$ ，$r(A+kE)=r(B+kE)$ .
2. $A^n\sim B^n$ ，进而 $A^n=P{B}^n{P}^{-1}$

由 $P_1^{-1}A{P}_1=B,P_2^{-1}B{P}_2=C\Rightarrow P^{-1}AP=C$ ，其中 $P=P_1{P}_2$ .

应用表：

二、定义

1. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在一个数 $\lambda$ 及非零的 $n$ 维列向量 $\alpha$ ，使得 $A\alpha =\lambda \alpha$ 成立，则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，称非零向量 $\alpha$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。
2. 设 $A=[a_{ij}]$ 为一个 $n$ 阶矩阵，则行列式 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|$ 称为矩阵 $A$ 的特征多项式，$|\lambda E-A|=0$ 称为 $A$ 的特征方程。
3. 设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ . 特别地，如果 $A$ 能与对角矩阵相似，则称 $A$ 可对角化。

三、定理

1. 定理：

如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$ 都是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，那么当 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_t{\alpha }_t$ 非零时，$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_t{\alpha }_t$ 仍是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

2. 定理：

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则：

• $\sum {\lambda }_i=\sum a_{ii}$ ；
• $|A|=\prod {\lambda }_i$ ；

3. 定理：

如果 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$ 是矩阵 $A$ 的互不相同的特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 分别是与之对应的特征向量，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关。

4. 定理：

如果 $A$ 是 $m$ 阶矩阵，${\lambda }_i$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征值，则属于 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量的个数不超过 $m$ 个。

5. 定理：

如果 $m$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 由相同的特征多项式，从而 $A$ 与 $B$ 由相同的特征值。

即若 $A\sim B$ ，则 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ .

6. 定理：

$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

7. 定理：

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ，则 $A$ 可相似对角化，且 A ∼ [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] A\sim

$$\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$ A∼⎣⎢⎢⎡​λ1​​λ2​​⋱​λn​​⎦⎥⎥⎤​

8. 定理：

$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充分必要条件是对于 $A$ 的每个特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即有等价组：

• $A\sim \Lambda$ .
• ${\lambda }_i$ 是 $A$ 的 $n_i$ 重特征值，则 ${\lambda }_i$ 有 $n_i$ 个线性无关的特征向量。
• 秩 $r({\lambda }_{i}E-A)=n-n_i,{\lambda }_i$ 为 $n_i$ 重特征值。

9. 定理：

实对称矩阵 $A$ 的不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 所对应的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 必正交。

10. 定理：

实对称矩阵 $A$ 的特征值都是实数。

11. 定理：

$n$ 阶实对称阵 $A$ 必可对角化，且总存在正交阵 $Q$ ，使得： Q − 1 A Q = Q T A Q = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] Q^{-1}AQ=Q^TAQ=

$$\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$ Q−1AQ=QTAQ=⎣⎢⎢⎡​λ1​​λ2​​⋱​λn​​⎦⎥⎥⎤​其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值。

12. Schmidt 正交化方法：

如果向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，令：$${\beta }_1={\alpha }_1$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$$ $${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$$
那么 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 两两正交，称为正交向量组。将其单位化有：$${\gamma }_1=\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||},{\gamma }_2=\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||},\gamma =\frac{{\beta }_3}{||{\beta }_3||}$$则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ 这一过程为 Schmidt 正交化。