并查集（Union-Find Disjoint Sets）_并查集csdn

并查集是一种树型的数据结构，主要适用于解决一些元素的分组问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

• 合并(Union)：把两个不相交的集合合并为一个集合。
• 查询(Find)：查询 两个元素是否在统一个集合中。

概述

并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。从上面可以看出，最终得到的是一个树状结构，要寻找集合的元素的代表，只需要一层一层的往上访问父节点，直到找到父节点为自身的根节点。

基本操作

如果共有$n$个元素，我们可以使用一个数组来存储每个元素的父节点。其代码为：

int[] parent = new int[n];
for (int i = 0; i < len; i++) {
    parent[i] = i;
}
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查找操作

对于并查集的查找操作，可以用递归的方法实现对代表元素的查询：一层一层的访问父节点，直至根节点。

int find(int v) {
    return v == parent[v] ? v : find(parent[v]);
}
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对于两个元素我们可以通过查找操作查找根节点，来判断两个元素是否属于同一个集合。

合并操作

对于合并操作，可以先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设置为后者（当然也可以将后者的父节点设置为前者）。

void union(int i, int j) {
    int x = find(i), y = find(j);
    if (x == y) return;
    parent[x] = y;
}
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优化

路径压缩合并

并查集的操作已经完成，但是并查集所形成的树可能是一条单链。对于这样的树越深，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。因此我们可以将一条单链转化为下面的形式：

上面的实现过程是：在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。

int find(int v) {
    return v == parent[v] ? v : (parent[v] = find(parent[v]));
}
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按秩合并

由于上面的路径压缩只在查找元素根节点时起作用，所以加入路径压缩算法之后并查集也不始终都是只有两层树。

上面两种合并方法，如果可以选择的话我们更希望是后者（即使有路径压缩，但路径压缩也是会消耗时间的），因为后者的合并方法不会使树的深度加深。这样的话可以使用一个数组来记录每个树的深度，合并时比较两个根节点的深度，把深度较小者往较大者上合并。

路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近$O(n)$ 。

int[] rank = new int[n];
int[] parent = new int[n];
for (int i = 0; i < len; i++) {
    parent[i] = i;
    rank[i] = 1;
}

void union(int i, int j) {
    int x = find(i), y = find(j);
    if (x == y) return;
    if (rank[x] <= rank[y]) {
        parent[x] = y;
        rank[y] += rank[x];
    } else {
        parent[y] = x;
        rank[x] += rank[y];
    }
}
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题目链接

1. 128. 最长连续序列

参考文献：

1. 算法学习笔记(1) : 并查集