算法沉淀——二分查找（leetcode真题剖析）

二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的算法。该算法的基本思想是通过每一次比较，将查找范围缩小一半，最终找到目标元素或者确定目标元素不存在。

二分查找的步骤：

1. 初始化： 定义两个指针，left 和 right，分别指向数组的起始和结束位置。
2. 循环条件： 在 left <= right 的条件下，执行以下步骤。
3. 计算中间位置： 计算中间位置的索引 mid，可以使用 mid = (left + right) / 2 或者 mid = left + (right - left) / 2。这样可以防止整数溢出。
4. 比较中间元素： 将目标元素与数组中间位置的元素进行比较。
   • 如果目标元素等于中间元素，查找成功，返回中间元素的索引。
   • 如果目标元素小于中间元素，说明目标元素可能在左半部分，更新 right = mid - 1。
   • 如果目标元素大于中间元素，说明目标元素可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
5. 重复步骤： 回到步骤 3，直到 left 大于 right，此时查找范围为空，表示目标元素不存在。

二分查找的优势：

• 效率高： 由于每一次比较都将查找范围减半，二分查找的时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是数组的长度。
• 适用条件： 二分查找要求数组必须是有序的，但在有序数组中查找元素时，它是一种非常高效的算法。

二分查找的局限性：

• 必须有序（大多数情况下）： 二分查找要求数组是有序的，如果数组是无序的，需要先进行排序。
• 不适用于链表： 二分查找通常用于数组，对于链表结构，由于无法直接通过下标访问元素，不太适用。
• 只能查找特定值： 二分查找主要用于查找特定值，对于查找范围不明确的情况，可能不太合适。

二分查找的应用场景：

• 在有序数组中查找特定元素。
• 寻找有序数组中的上下界。
• 在数值范围内寻找满足条件的值。

二分查找基本模板

朴素版（适用于最基础的二分）

while(left<=right){
	int mid=left+(right-left)/2;
	if(条件)
		left=mid+1;
	else if(条件)
		right=mid-1;
	else
		return ...;
}
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全能版（均可适用）

①查找左边界

while(left<right){
	int mid=left+(right-left)/2;
	if(条件)
		left=mid+1;
	else
		right=mid;
}
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②查找右边界

while(left<right){
	int mid=left+(right-left+1)/2;
	if(条件)
		left=mid;
	else
		right=mid-1;
}
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全能版的写法需要根据不同的情况做出相应改变，比如这里的中间值为什么要+1再除，是因为最下面的条件mid-1,如果没有-1，那么上面也不需要+1，这样做是为了防止进入死循环，这个模板仅供参考，切勿死记硬背，实践出真知，适合自己的才最重要。

01.二分查找

题目链接：https://leetcode.cn/problems/binary-search/

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
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示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
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思路

这里就是最基础的朴素二分，我们直接写上去就可以了，不熟悉二分最好自己动手写一遍，对后面的二分题就会有更深入的了解，打牢基础。

1. 初始化两个指针 left 和 right 分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（避免整数溢出的写法），对比中间元素与目标元素的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 nums[mid] > target，说明目标元素可能在左半部分，更新 right = mid - 1。
   • 如果 nums[mid] < target，说明目标元素可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 nums[mid] == target，找到目标元素，返回 mid。
3. 循环直到 left 大于 right，此时查找范围为空，返回 -1 表示目标元素不存在。

代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<=right){
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>target) right=mid-1;
            else if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else return mid;
        }
        return -1;
    }
};
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02.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
1
2

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
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2

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
1
2

思路

这里题目指定时间复杂度为 O(log n) 的算法，说明就是要让我们使用二分的算法，这里需要注意两个问题，第一个是边界问题，避免死循环，第二就是这里找两个值，我们可以分成两个二分来找，这样我们可以将逻辑捋清楚，这里模板中左边界与有边界两个版本都能用上。

1. 首先，判断数组是否为空，如果为空，则直接返回 {-1, -1}，表示目标元素不存在于数组中。
2. 利用二分查找找到目标元素的起始位置，首先在数组中找到第一个大于等于 target 的元素的位置。这个过程通过维护两个指针 left 和 right，在循环中不断缩小查找范围，最终 left 的位置就是目标元素的起始位置。
3. 如果找到的 nums[left] 不等于 target，说明目标元素不存在，返回 {-1, -1}。
4. 如果找到了目标元素的起始位置 begin，则重置 left 和 right，利用二分查找找到目标元素的结束位置。在这一步中，找到第一个大于 target 的位置的前一个位置，即 right。
5. 返回结果，即目标元素的起始位置和结束位置。

代码

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if(!nums.size()) return {-1,-1};

        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid;
        }

        if(nums[left]!=target) return {-1,-1};
        int begin=left;
        left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target) left=mid;
            else right=mid-1;
        }

        return {begin,right};
    }
};
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03.搜索插入位置

题目链接：https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
1
2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
1
2

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
1
2

思路

和上一题一样，题目指定时间复杂度为 O(log n) 的算法，说明就是要让我们使用二分的算法，这里我们直接使用左边界二分即可，注意边界问题，比如target值大于最后一个值，需要考虑。

1. 初始化两个指针 left 和 right 分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（避免整数溢出的写法），对比中间元素与目标元素的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 nums[mid] < target，说明目标元素可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 nums[mid] >= target，说明目标元素可能在左半部分，更新 right = mid。
3. 循环直到 left >= right，此时 left 就是插入位置，因为 left 所指的元素是第一个大于或等于 target 的元素。
4. 最后判断 nums[left] 与 target 的关系：
   • 如果 nums[left] < target，则插入位置在 left + 1。
   • 否则，插入位置在 left。
5. 返回插入位置。

代码

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right){
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        if(nums[left]<target) return left+1;
        return left;
    }
};
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04.x 的平方根

题目链接：https://leetcode.cn/problems/sqrtx/

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

**注意：**不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2
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示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
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思路

这里我们使用二分是在暴力循环的基础上改进而来的，需要注意的是边界问题和溢出问题

1. 首先，判断 x 的值，如果小于 1，则直接返回 0，因为在非负整数范围内不存在小于 1 的平方根。
2. 初始化两个指针 left 和 right，分别指向 1 和 x。
3. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（使用 (right - left + 1) / 2 避免整数溢出），对比中间元素的平方与 x 的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 mid * mid <= x，说明目标平方根可能在右半部分，更新 left = mid。
   • 如果 mid * mid > x，说明目标平方根可能在左半部分，更新 right = mid - 1。
4. 循环直到 left >= right，此时 left 或 right 就是平方根的整数部分。
5. 返回 right。

代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x<1) return 0;
        int left=1,right=x;
        while(left<right){
            long long mid = left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid<=x) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return right;
    }
};
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05.山脉数组的峰顶索引

题目链接：https://leetcode.cn/problems/peak-index-in-a-mountain-array/

符合下列属性的数组 arr 称为 山脉数组 ：

• arr.length >= 3
• 存在i（0 < i < arr.length - 1）使得：
  • arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]
  • arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length - 1]

给你由整数组成的山脉数组 arr ，返回满足 arr[0] < arr[1] < ... arr[i - 1] < arr[i] > arr[i + 1] > ... > arr[arr.length - 1] 的下标 i 。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1：

输入：arr = [0,1,0]
输出：1
1
2

示例 2：

输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1
1
2

示例 3：

输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1
1
2

思路

看到这题很多并不会想到使用二分去做，因为概念里写的使用二分一定要有序，但是这里是可以使用二分的思想来做这道题的，所以我们要将思路打开，根据题意这里山顶不会是左右的边界值，所以这里我们只要使用二分找出数组的最大值就行了

1. 初始化两个指针 left 和 right，分别指向二分的起始位置和结束位置（边界不需要考虑）。
2. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（使用 (right - left) / 2 避免整数溢出），对比中间元素与其右侧元素的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 arr[mid] < arr[mid + 1]，说明峰值可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 arr[mid] >= arr[mid + 1]，说明峰值可能在左半部分，更新 right = mid。
3. 循环直到 left >= right，此时 left 或 right 就是山脉数组的峰值。
4. 返回 right。

这个算法的核心思想是通过二分查找，在山脉数组中找到峰值的索引。在山脉数组中，峰值是指一个位置左侧的元素严格单调递增，右侧的元素严格单调递减的位置。因此，通过比较中间元素与其右侧元素的大小关系，可以缩小查找范围，最终找到峰值的位置。

代码

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left=1,right=arr.size()-2;
        while(left<right){
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(arr[mid]<arr[mid+1]) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return right;
    }
};
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06.寻找峰值

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-peak-element/

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
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示例 2：

输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5 
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
     或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。
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思路

基本和上一题的二分思想是一致的，但是这里需要考虑边界问题，因此不能直接去除首尾。

1. 初始化两个指针 left 和 right，分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（使用 (right - left) / 2 避免整数溢出），对比中间元素与其右侧元素的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，说明峰值可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 nums[mid] >= nums[mid + 1]，说明峰值可能在左半部分，更新 right = mid。
3. 循环直到 left >= right，此时 left 或 right 就是无序数组的峰值。
4. 返回 left。

代码

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right){
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<nums[mid+1]) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return left;
    }
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07.寻找旋转排序数组中的最小值

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
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示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 3 次得到输入数组。
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3

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
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思路

这里我们使用二分法使用中间值与最右边的值相比较，若中间值大，说明最小值一定在右边，反之在左边，这里使用二分法不用考虑数组旋转了几次。

1. 初始化两个指针 left 和 right，分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 记录数组最右侧元素的值为 x，作为旋转的轴。这个轴元素是数组的最小元素。
3. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（使用 (right - left) / 2 避免整数溢出），对比中间元素与 x 的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 nums[mid] > x，说明最小元素可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 nums[mid] <= x，说明最小元素可能在左半部分或就是 mid 位置，更新 right = mid。
4. 循环直到 left >= right，此时 left 或 right 就是数组中的最小元素所在的位置。
5. 返回 nums[left]。

代码

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        int x=nums[right];
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>x) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};
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08.LCR 173. 点名

题目链接：https://leetcode.cn/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/

某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。

示例 1:

输入: records = [0,1,2,3,5]
输出: 4
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2

示例 2:

输入: records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出: 7
1
2

思路

这道题其实有多种解法，我们使用二分解决可以效率非常高，这里只需要注意边界问题，即最大学号缺席。

1. 初始化两个指针 left 和 right，分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 在 while 循环中，通过计算中间位置 mid（使用 (right - left) / 2 避免整数溢出），对比中间元素 records[mid] 与 mid 的大小关系，从而缩小查找范围。
   • 如果 records[mid] == mid，说明漏考勤的学生可能在右半部分，更新 left = mid + 1。
   • 如果 records[mid] != mid，说明漏考勤的学生可能在左半部分或就是 mid 位置，更新 right = mid。
3. 循环直到 left >= right，此时 left 或 right 就是漏考勤的学生的位置。
4. 返回 right == records[right] ? right + 1 : right。

代码

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) {
        int left=0,right=records.size()-1;
        while(left<right){
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(records[mid]==mid) left=mid+1;
            else right=mid;
        }

        return right==records[right]?right+1:right;
    }
};
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