三维数学基础6：旋转的表示-四元数_axis-angle

三维数学基础6：旋转的表示-四元数

我们先来了解轴角法表示的旋转，其与四元数表述旋转的几何意义相似。

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轴角表示旋转

一个以矢量定义的旋转轴，再加上一个标量定义的旋转角，这种表达旋转的方式称为轴角（axis-angle）表达方式。旋转轴A、角度$\theta$可写成4维矢量形式：
$$\left[\begin{array}{cc}A& \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}Ax& Ay& Az& \theta \end{array}\right]$$

轴角表示的优点在于比较直观，存储消耗更少（只需4个浮点数）。轴角表示旋转不能直接施加于点或矢量，需要把轴角转换成矩阵或四元数。更重要的问题是：不能简单的进行插值计算（计算两个旋转中某个百分点的旋转）。

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四元数（quaternion）

四元数可以当做一个四维的复数。具有一个实数轴和以虚数i，j，k表示的三个虚数轴。

对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

四元数的数学表达式

$$q=w+ix+jy+kz$$
并且满足:
$$\begin{gathered} i^2=j^2=k^2=-1 \\ i\cdot j=k \\ j\cdot i=-k \end{gathered}$$

四元数还可以用矢量$X(x,y,z)$与标量$w$结合的方式表示：
$$\begin{gathered} q=w+xi+yj+zk \\ =w+X \end{gathered}$$

四元数的乘法

两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积。
设定：
$$\begin{gathered} A=(a,b,c) \\ X=(x,y,z) \end{gathered}$$
定义两个四元数p、q：
$$q=w_1+$$