.BFS.

BFS

（Breadth-First Search）是一种用于遍历或搜索树（tree）或图（graph）的算法。
这个算法从根（或某个任意节点）开始，并探索最近的邻居节点，
然后再探索那些节点的邻居节点，如此类推，直到找到目标或已经探索了所有可达的节点。
BFS 是一种广度优先的搜索策略，也就是说，它首先访问所有相邻的节点，然后才访问下一层的节点。

BFS:可以搜到最短路径，是一圈一圈的进行搜索。所以题目若要求最短路问题，一定是BFS而非DFS。

题目：

AcWing 844. 走迷宫 - AcWing

思路：

第几层被扩展到，即距离原点多远：

当前所在的节点有四种可能性：向上（-1，0）、下（1，0）、左（0，-1）、右（0，1）扩展（这里的扩展时对应的是矩阵），我们分别枚举即可。

这里用两个一维数组来简化代码：dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1}

不可扩展的情况有1、扩展时下一节点数值为1，2、扩展时下一节点之前已经被其他路径扩展了（因为是要求最优解，之前被走过的路重复走会增加次数）3、扩展到边界了。

代码：

①：数组模拟队列

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
const int N=105;
using namespace std;
 
int n,m;
//g数组存的是地图
int g[N][N];
//d数组存的是地图上的每一个点到起点的距离
int d[N][N];
 
//定义一个数组q[N],用来存放点的坐标
pair<int,int> q[N*N];
 
int bfs()
{
    //一开始队列为空
    int hh=0,tt=0;
    //起点坐标为(0,0)
    q[0]={0,0};
    //先将所有数组d[][]的值初始化为-1，-1表示没走过
    memset(d,-1,sizeof d);
    //一开始的起点已经走过了
    d[0][0]=0;
    //偏移量
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
    
    while(hh <= tt)
    {
        /*
        每次取出队头（队头即为bfs宽搜时遇到的最新的一个点），
        然向上、下、左、右四个方向进行扩展
        */
        pair<int,int> t=q[hh++];
        
        //每一次枚举一下四个方向
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            //找到下一个点的坐标，由于分别枚举了四个不同的方向，
            //所以四个放向都会囊括在内，并且找到最优解
            int x=t.first+dx[i],y=t.second+dy[i];
            /*
            x、y没出边界，并且向这个方向扩展时g[x][y]==0（符合题意时），
            并且扩展后的点之前没有被用过时（最短路，一个点只走一次时所走的路径最短）
            */
            if(x>=0 && x<n && y>=0 && y<m && g[x][y]==0 && d[x][y]==-1)
            {
                //那么这个点的距离等于上个点到原点的距离+1;
                d[x][y] = d[t.first][t.second]+1;
                //把这个点的坐标加进来
                q[ ++ tt] = {x,y};
            }
        }
    }
    
    return d[n-1][m-1];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i=0;i<n;i++)
     for(int j=0;j<m;j++)
      cin >> g[i][j];
    
    cout << bfs() << endl;
    return 0;
}

②：队列：

BFS查询路径：

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
 
using namespace std;
 
const int N=105;
int n,m;
int g[N][N],d[N][N];
//队列q，类型为pair <int,int>型
queue<pair <int,int>> q;
//定义一个二维数组，来记录行走路径
pair <int,int> Prev[N][N];
 
int bfs()
{
    //初始化所有至起点的距离都为-1
    memset(d,-1,sizeof d);
    //一开始起点至起点的距离为1
    d[0][0]=0;
    //起点坐标记录下来
    q.push({0,0});
    
    //向上、右、下、左的偏移量，用两个一维数组表示出来
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
    while(!q.empty())
    {
        //取出队头，保证是圈式延伸
        auto t=q.front();
        //记录之后删除，确保正确延伸
        q.pop();
        
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            int x=dx[i]+t.first,y=dy[i]+t.second;
            //如果符合题意
            if(x>=0 && x<n && y>=0 && y<m && g[x][y]==0 && d[x][y]==-1 )
            {
                //下一个点到原点的距离等于上一个点到原点的距离＋1；
                d[x][y]=d[t.first][t.second]+1;
//记录当前坐标
                Prev[x][y]=t;
                //将这一个点放至队列
                q.push({x,y});
            }
        }
    }
//从后往前
    int x=n-1,y=m-1;
    while(x||y)
    {
//输出当前坐标
        cout << x<< " "<< y << endl;
        auto t=Prev[x][y];
//向前走。因为这里Prev记录的是这段路径的坐标，所以x、y是沿着这条路径向前走的
        x=t.first,y=t.second;
        
    }
    //输出题目要求的点到原点的距离即可
    return d[n-1][m-1];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i=0;i<n;i++)
     for(int j=0;j<m;j++)
      cin >> g[i][j];
    
    cout << bfs();
    return 0;
}

题目：

845. 八数码 - AcWing题库

思路： 

这里每种不同的状态我们直接用字符串来记录，然后利用unordered_map<string, int> d；将每种字符串映射到不同的int值里，来达到记录每种状态（字符串）的目的。

'x'的上、下、左、右 每次向空格'x'里移动一次，称为一个操作
我们可以把所有状态看成是图论当中的一个节点
然后每变换一次就会成为一个新的节点
最终的状态为最终节点
上一个节点与下一个节点的连线的权重为1
那么从最开始的节点到最终的节点的长度就是最短路径
难点：
①状态表示比较复杂：如何将每一个矩阵的状态存到队列里面
②如何来记录每一个状态的距离
③如何做状态转移{
    1）先恢复成矩阵的形式，2）再将空格x的上下左右分别枚举，移到x的位置上去
    3）再将矩阵恢复成字符串的形式，这时就会形成一个新的字符串了（如果之前没有被形成的话）
    
}
  ①可以用一个字符串来表示这样一种状态。
  队列直接用queue<string>来表示。②距离直接用哈希表来记录：unordered_map<string>来存。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#include<queue>
 
using namespace std;
 
int bfs(string start)
{
    //end是最终要求的状态，不同的字符串对应不同的状态
    string end="12345678x";
    
    queue<string> q;
    //距离数组，每一个string状态映射一个int值
    unordered_map<string,int> d;
    
    q.push(start);
    //一开始起点到终点的距离为0
    d[start]=0;
    
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
    
    while(!q.empty())
    {
        //记录当前的状态
        auto t=q.front();
        q.pop();
        
        //记录当前的坐标
        int distance=d[t];
        //如果找到了，返回距离
        if(t==end) return distance;
        
        //状态转移，看一下当前的状态能变成哪些状态
        //先找到'x'在字符串中所对应的下标
        int k=t.find('x');
        int x=k/3,y=k%3;//找到'x'的坐标，下一步的操作就是移动'x'的上、下、左、右坐标，
        //进而形成新的状态
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            //上下左右的坐标{a,b}
            int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
            if(a>=0 && a<3 && b>=0 && b<3)
            {
                //'x'所在字符串为t[k],
                //二维转换成一维：a*3+b
                //交换两种状态（更新当前的状态，使其等于最新的状态）
                swap(t[k],t[a*3+b]);
                //如果更新完之后的t之前没有被搜过的话，即更新完后的状态之前没出现过的话
/*
在C++中，std::unordered_map提供了一个成员函数count，该函数用于检查映射中是否存在具有特定键的元素。
如果映射中存在该键的元素，count函数返回1；如果不存在，返回0。
*/
                if(!d.count(t))
                {
                    //更新完后的状态到原始状态的距离=之前的距离+1；
                    d[t]=distance+1;
                    //新的状态加到队列当中去
                    q.push(t);
                }
                //恢复原状，以便下次循环判断新的状态
                swap(t[k],t[a*3+b]);
            }
        }
        
    }
    //没找到
    return -1;
}
 
int main()
{
    //string表示状态
    string start;
    for(int i=0;i<9;i++)
    {
        char c;
        cin >> c;
        //记录初始状态
        start+=c;
    }
    
    cout << bfs(start) << endl;
    
    return 0;
    
    
}

tips：

在C++中，unordered_map<string, int> d; 定义了一个名为 d 的 unordered_map（无序映射），
其键（key）是 string 类型，值（value）是 int 类型。这个 unordered_map 不保证元素的顺序与插入顺序相同，
但它允许你以非常接近O(1)的平均时间复杂度来查找、插入和删除元素（基于哈希表实现）。

这个 unordered_map 本身并不返回 int 值。
它是一个容器，可以存储多个键值对（key-value pairs），
其中每个键是唯一的 string，每个键映射到一个 int 值。
。

向上（-1，0）、下（1，0）、左（0，-1）、右（0，1），这里可以用两个一维数组来简化代码：dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1}

（dx[1],dy[1]）即代表向上