【数据结构（邓俊辉）学习笔记】绪论01——复杂度度量_度量复杂度

0.意图

算法的计算成本涵盖诸多方面，为确定计算成本的度量标准，不妨先从计算速度这一主要因素入手。具体地，如何度量一个算法所需的计算时间呢？

1. 时间复杂度

从保守估计的角度出发，在规模为n的所有输入（n! 种输入）选择执行时间最长者作为T(n)，并以T(n)度量该算法的时间复杂度。

2. 渐进复杂度

在评价算法运行效率时，更关注其在处理更大规模问题时的表现。因为小规模问题所需的处理时间本来就相对更少，故此时不同算法的实际效率差异并不明显；而在处理更大规模的问题时，效率的些许差异都将对实际执行效果产生巨大的影响。这种着眼长远、更为注重考察成本的增长趋势的策略与方法，即所谓的渐进分析（asymptotic analysis）。
针对足够大的输入规模n，算法执行时间T(n)的渐进增长速度，应如何度量和评价呢？
需要执行的基本操作次数：T(n) = ?

3. 大O记号

在大O记号的意义下，

1. 正的常系数可以忽略并等同于1。
2. 多次项中的低此项均可忽略，只需保留最高此项。

可以看出，大O记号的性质的确体现了对函数总体渐进增长趋势和关注和刻画。

4. 最坏、最好与平均情况

大O记号实质上是对算法执行时间的一种保守估计，对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不会超过O（f（n））。比如”起泡排序算法“

void bubblesort1A( int A[], int n ) { //起泡排序算法（版本1A）：0 <= n
   /*DSA*/int cmp = 0, swp = 0;
   bool sorted = false; //整体排序标志，首先假定尚未排序
   while ( !sorted ) { //在尚未确认已全局排序之前，逐趟进行扫描交换
      sorted = true; //假定已经排序
      for ( int i = 1; i < n; i++ ) { //自左向右逐对检查当前范围A[0, n)内的各相邻元素
         if ( A[i - 1] > A[i] ) { //一旦A[i - 1]与A[i]逆序，则
            swap( A[i - 1], A[i] ); //交换之，并
            sorted = false; //因整体排序不能保证，需要清除排序标志
            /*DSA*/swp++; printf ( "%3d: ", n ); print ( A, n, i - 1, i + 1 );
         }
         /*DSA*/cmp++;
      }
      n--; //至此末元素必然就位，故可以缩短待排序序列的有效长度
   }
   /*DSA*/ printf( "#comparison = %d, #swap = %d\n", cmp, swp );
} //借助布尔型标志位sorted，可及时提前退出，而不致总是蛮力地做n - 1趟扫描交换
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该算法由内、外两层循环组成。内循环从前向后，依次比较各对相邻元素，如有必要则将其交换。故在每一轮内循环中，需要扫描和比较n-1对元素，至多需要交换n-1对元素。元素的比较和交换都属于基本操作，故每一轮内循环至多需要执行2（n-1）次基本操作。外循环至多执行n-1轮。因此，总共需要执行的基本操作不会超过 $2(n-1{)}^2$次。则有
$T(n)=O(2(n-1{)}^2)=O(2n^2-4n+2)=O(2n^2)=O(n^2)$
复杂度$T(n)=O(n^2)$意味着，该算法处理任何序列所需的时间绝不会超过O（$n^2$）。称作最坏实例或最坏情况。
对于某种序列如{1，2，3，4}，甚至只需执行一轮，称作最好情况。
有时也需要考查所谓的平均情况，也就是按照某种约定的概率分布，将规模为n的所有输入对应的计算时间加权平均。
比较而言，”最坏情况复杂度“是人们最为关注且使用最多的，在一些特殊的场合甚至成为唯一标准。

5. 分摊分析

平均复杂度 是指在假定各种输入实例的出现符合某种概率分布之后，进而估算出的加权复杂度均值。将基于“待排序的元素服从独立均匀随机分布”这一假设，估算出快速排序算法在各种情况下的加权平均复杂度。

分摊复杂度 是纵观连续的足够多次操作，并将其间总体所需的运行时间分摊至各次操作。与平均复杂度的本质不同在于，这里强调，操作序列必须是的确能够真实发生的，其中各次操作之间应存在前后连贯的时序关系。

由此可见，前者不必考查加权平均的各种情况出现的次序，甚至其针对概率分布所做的假设未必符合真实情况；后者不再割裂同一算法或数据结构的各次操作之间的因果关系，更加关注其整体的性能。综合而言，基于后一尺度得出的分析结论，应该更符合于真实情况，也更为可信。

6.大Ω记号

如果存在正的常数c和函数g(n)，使得对于任何n >> 2都有
T(n) ≥ c∙g(n)
在n足够大之后，g(n)给出了T(n)的一个渐进下界。记为：
T(n) = Ω(g(n))
大Ω记号是对算法执行效率的乐观估计，对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不低于Ω(g(n))。
比如，即便在最好情况下，起泡排序也至少需要T(n) = Ω(n)的计算时间。
至少需要对每个元素访问一次。否则，即便其余n - 1个整数业已排序，在未读取出该整数的准确数值之前，仍无法确定整体的排列次序。

7. 大θ记号

借助大O记号、大Ω记号，可以对算法的时间复杂度作出定量的界定，亦即，从渐进的趋势
看，T(n)介于Ω(g(n))与O(f(n))之间。若恰巧出现g(n) = f(n)的情况，则可以使用另一记
号来表示。
如果存在正的常数c1 < c2和函数h(n)，使得对于任何n >> 2都有
c1∙h(n) ≤ T(n) ≤ c2∙h(n)
就可以认为在n足够大之后，h(n)给出了T(n)的一个确界。此时，我们记之为：
T(n) = θ(h(n))
它是对算法复杂度的准确估计，对于规模为n的任何输入，算法的运行时间T(n)都与θ(h(n))同阶。

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参考书籍
《数据结构》邓俊辉编著