6.10 ACM-ICPC动态规划算法 插头 DP_插头dp算法

6.10 ACM-ICPC动态规划算法 - 插头 DP

在 ACM-ICPC 等算法竞赛中，我们经常会遇到一些复杂的动态规划问题，这些问题需要我们处理状态之间的连通性信息。这就引入了一种高级动态规划策略，即插头 DP（Plug DP 或连通性状态压缩 DP），它是解决棋盘类问题中连通性相关难题的有力工具。

插头 DP 定义与引入

定义

插头 DP 通常用于解决格点图中需要记录连通性的问题。这包括但不限于哈密顿路径计数、棋盘黑白染色问题、特定图的生成树计数等。在这类问题中，我们需要对状态的连通性进行编码，并且在状态转移过程中考虑连通性的变化。

引入

一个经典的问题是 "Mondriaan’s Dream"，我们在一个 N×M 的棋盘内使用 1×2 或 2×1 的骨牌进行覆盖。当面临较小规模的情况时，可以采用状态压缩 DP 来解决。然而，在处理更大规模的棋盘时，传统方法变得不再高效，这时插头 DP 就派上用场了。

插头 DP 核心要素

状态表示

在插头 DP 中，一个状态需要包含棋盘上每个点的连接情况。这可以通过位操作来实现，每个位表示一个点是否被前一个点连接。

状态转移

状态转移是插头 DP 的关键。对于每个棋盘单元，我们枚举所有可能的动作，根据当前动作更新连接状态。例如，我们可能需要考虑如何通过添加或移除插头来形成新的连通块或合并现有的连通块。

边界条件

处理棋盘的边缘和障碍物时需要特别小心，因为它们对连通性的影响可能需要特殊的状态转移逻辑。

阶段划分

插头 DP 一般按照某个方向（例如逐行或逐列）对棋盘进行扫描，这样的处理方法定义了算法的不同阶段。

插头 DP 实践

实践难题

在 ACM-ICPC 等竞赛中，插头 DP 经常被用于解决如 "Eat the Trees" 或 "Andrew Stankevich Contest" 的题目。在这些问题中，选手需要精确地处理连通性的变化，以及如何优雅地应用状态压缩来简化问题。

实现细节

在插头 DP 中，每个状态的编码和转移都包含了多个细节，需要仔细考虑如何表示和更新状态。例如，最小表示法能够有效地压缩状态空间，减少不必要的计算。

工具

为了处理稀疏的合法状态，选手们经常使用哈希表来存储状态和它们的 DP 值。在一些情况下，手写哈希表可能比标准库提供的数据结构更加有效率。

例题探究

例题 1: 「HDU 1693」Eat the Trees

题目大意：给定一个 N x M 的棋盘，棋盘上有一些位置是障碍物。要求用若干条不相交的回路覆盖所有非障碍的格子，并计算方案数。

解题思路：在这个问题中，插头 DP 通过记录每个单元格的左插头和上插头状态来进行状态的转移。我们需要在转移过程中确保回路之间不相交，而且遇到障碍物时，相应的插头不能转移。

状态表示：状态通常用一个整数数组来表示，数组中的每个元素对应棋盘上一行的某个单元格，元素值表示插头的状态。

状态转移：对于棋盘上的每个单元格，我们都要考虑它是否可以加入当前回路、是否需要开始一个新的回路，或者是两个回路的连接点。这些操作对应不同的状态转移。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 11;
long long f[2][1 << (N + 1)], *f0, *f1;
int n, m;
 
int main() {
  int T;
  cin >> T;
  for (int Case = 1; Case <= T; ++Case) {
    cin >> n >> m;
    f0 = f[0];
    f1 = f[1];
    fill(f1, f1 + (1 << m + 1), 0);
    f1[0] = 1;  // 初始化
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        bool bad;
        cin >> bad;
        bad ^= 1;
        swap(f0, f1);
        fill(f1, f1 + (1 << m + 1), 0);
        for (int s = 0; s < 1 << m + 1; ++s)  // 具体的dp转移，上面都是初始化
          if (f0[s]) {
            bool lt = s >> j & 1, up = s >> j + 1 & 1;
            if (bad) {
              if (!lt && !up) f1[s] += f0[s];
            } else {
              f1[s ^ 3 << j] += f0[s];
              if (lt != up) f1[s] += f0[s];
            }
          }
      }
      swap(f0, f1);
      fill(f1, f1 + (1 << m + 1), 0);
      for (int s = 0; s < 1 << m; ++s) f1[s << 1] = f0[s];
    }
    printf("Case %d: There are %lld ways to eat the trees.\n", Case, f1[0]);
  }
}

例题 2: 「Andrew Stankevich Contest 16 - Problem F」Pipe Layout

题目大意：在一个 N x M 的棋盘上，要求创建一个完整的管道布局，这个管道系统必须形成一条完整的回路。

解题思路：此问题要求我们构造一个大回路，而插头 DP 适合处理连通性问题，特别是回路问题。我们可以使用与前一个例题类似的方法来解决它。

状态表示：每个状态包含连通性信息，这里需要特别表示哪些插头属于同一个回路。

状态转移：转移时要考虑如何保持回路的完整性，并且在构造过程中不能产生新的回路。

int b[M + 1], bb[M + 1];
 
int encode() {
  int s = 0;
  memset(bb, -1, sizeof(bb));
  int bn = 1;
  bb[0] = 0;
  for (int i = m; i >= 0; --i) {
#define bi bb[b[i]]
    if (!~bi) bi = bn++;
    s <<= offset;
    s |= bi;
  }
  return s;
}
 
void decode(int s) {
  REP(i, m + 1) {
    b[i] = s & mask;
    s >>= offset;
  }
}

实战训练

「ZOJ 2126」Rocket Mania Plus

题目大意：需要在一个特定的棋盘上布置火箭，确保所有火箭都能通过一次点火全部点燃。

解题思路：这个问题可以被转化为寻找一系列闭合回路的问题，这些回路需要覆盖棋盘上的所有指定点。

状态表示与转移：状态的表示更加复杂，需要同时考虑插头的连通性和覆盖特定点的要求。

注意事项：在实现插头 DP 时，我们需要处理各种边界情况，例如棋盘的边缘以及不能形成的回路。

结语

插头 DP 是一种解决连通性问题的高级动态规划技术，在 ACM-ICPC 等竞赛中非常有用。虽然编码难度较大，涉及的状态转移较为复杂，但插头 DP 能够解决传统动态规划方法无法处理的问题。了解并掌握插头 DP，可以显著提高参赛者解决连通性问题的能力，为他们在竞赛中获得佳绩提供了可能。