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插值法-python及matlab实现_hermite插值python代码

作者：码创造者 | 2024-07-09 22:08:57

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hermite插值python代码

零.基础知识

(1) np的相关函数

1. np.linspace的相关参数

np.linspace生成一个指定大小，指定数据区间的均匀分布序列

numpy.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None)

2. 返回值

np.linspace()返回数组

np.arrange()返回数组

np.array就是转换成数组

np.sin()返回数组

np.pi数字

List：列表

python 中的 list 是 python 的内置数据类型，list 中的数据类型不必相同，

在 list 中保存的是数据的存放的地址，即指针，并非数据。

array：数组

array() 是 numpy 包中的一个函数，array 里的元素都是同一类型。

(2) plot的相关函数

1. 给横纵坐标加标签

plt.xlabel('')

plt.ylabel('')

2. plot的相关参数设置

plt.plot()函数是matplotlib.pyplot模块下的一个函数, 用于画图

* x为x轴数据, y为y轴数据

* x, y可传入(元组), [列表], np.array, pd.Series, pd.DataFrame

* 可传入多组x, y

* plt.plot(x, y, "格式控制字符串")

* "格式控制字符串"最多可以包括三部分, "颜色", "点型", "线型"

* color=['b','g','r','c','m','y','k','w']

b-blue g-green r-red c-cyan m-magenta y-yellow k-black w-white

linestyle=['-','--','-.',':']

marker=['.',',','o','v','^','<','>','1','2','3','4','s','p','*','h','H','+','x','D','d','|','_','.',',']

3. 多条线绘于一张图

plt.legend()

* 给plt.plot( )中参数label=''传入字符串类型的值，也就是图例的名称

* 使用plt.legend( )使上述代码产生效果

* plt.legend( )中有handles、labels和loc三个参数

* loc = 'best'

* labels显示线条名称,上面的plt.plot有label，其实这个并不需要

一.插值法的应用场景

* 数据量过少时，不足以支撑分析的进行，插值法可以模拟产生一些新的靠谱的数据

* 根据已知的点进行数据、模型的处理和分析，可以用来预测数据

二.插值法

2.1 插值多项式（一般插值法）

定理一

设有n+1个互不相同的结点 $(x_i,y_i)$ $(i = 0,1,2,...n)$ 则存在唯一的多项式：

$L_n\left ( x \right )= a_0 + a_1x+a_2x^{2}+...+a_nx^{n} (1)$

使得 $L_n\left ( x_j \right )= y_j\left ( j=0,1,2,...n \right ) (2)$

证明

对于方程组

$\left\{\begin{matrix} a_0+a_1x_0+a_2x_0^{2}+...+a_nx_0^{n}= y_0 \\ a_0+a_1x_1+a_2x_1^{2}+...+a_nx_1^{n}= y_1 \\ .......... \\ a_0+a_1x_2+a_2x_2^{2}+...+a_nx_2^{n}= y_2 \end{matrix}\right.$

令

$A = \begin{bmatrix}1 \;\;\; x_0\;\;\;\;...\;\;\;\;x_0^{n} & & & \\ 1 \;\;\; x_1\;\;\;\;...\;\;\;\;x_1^{n} & & & \\ ..................... & & & \\ 1 \;\;\; x_n\;\;\;\;...\;\;\;\;x_n^{n} & & & \end{bmatrix}$ $X= \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ ... \\ a_n \end{bmatrix}$ $Y= \begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix}$

方程组的矩阵形式如下：

$AX= Y$

有范德蒙列行列式得：由于 $x_i\neq x_j$

方程组有唯一解

即 $L_n\left ( x \right )= a_0 + a_1x+a_2x^{2}+...+a_nx^{n}$ 有唯一系数。

注意：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一。

2.1.1 高次插值

(1)拉格朗日插值

(2)牛顿插值

(3)两种插值法的比较

1. 均会出现runge现象，即在两端处波动极大，产生明显的动荡。->我们可以采用分段插值

给定n+1个点，过所有点的函数不一定是n次函数。

2.牛顿差值法的第n+1项只与前n项的值有关，与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。

3.均不能全面反映被插函数的形态，如一阶导，二阶导等。

2.1.2 分段二次插值

选取跟节点最近的5个结点进行二次插值，在每个区间上，用拉格朗日插值法求取二次函数，取离节点最近的三个结点组成的区间

2.2 埃尔米特 (Hermite)插值

要求一阶导相等

matlab内置函数:

p = pchip(x,y,new_x)

python内置函数

from scipy.interpolate import KroghInterpolator

2.3 三次样条插值

要求一阶导相等，二阶连续可微

matlab内置函数

p = spline(x,y,new_x)

python内置函数

from scipy.interpolate import CubicSpline

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