2023 华数杯（B题）最新详解!深度剖析|数学建模完整代码+建模过程全解全析_2023华数杯b题论文

问题重述

在日常生活中，不透明的有色制品经常用于各种应用，如家居用品、玩具、包装等。这些制品的色彩配色对其外观美观度和市场竞争力起着重要作用。然而，传统的人工配色方法存在一定的局限性，包括主观性强、效率低下等问题。为了解决这些问题，我们考虑通过计算机方法来实现不透明制品的配色，以提高配色效率和准确性。具体而言，我们基于光学模型，设计不透明制品的配色模型，并通过色差计算方法来评估配色的效果。

问题1：着色剂K/S与浓度的关系

根据给定的K-M光学模型，着色剂的吸收系数K/散射系数S的比值与反射率R之间存在一定关系。

假设着色剂的浓度为C（单位为克），在波长λ下的K/S值为K/S(λ, C)。着色剂的反射率R(λ, C)与K/S(λ, C)之间存在关系，可以使用拟合曲线来表示。

我们需要拟合着色剂的K/S值（吸收系数K与散射系数S之间的比值）与浓度C之间的关系。拟合曲线形式是为了找到一个合适的函数来拟合实验数据，从而得到一个数学模型来描述K/S与浓度之间的关系。

在拟合中，我们通常选择一种函数形式，比如幂函数、指数函数、对数函数等，将该函数的参数（比如幂指数、系数等）调整到最佳状态，使得该函数与实验数据之间的误差最小。

在问题1中，我们使用了一个幂函数来拟合着色剂的K/S与浓度之间的关系：

R(λ,C)=a∗(K/S(λ,C))bR(λ, C) = a * (K/S(λ, C))^b

其中，R(λ, C)表示在波长λ下浓度为C时的反射率，a和b是拟合系数， (K/S(λ,C))(K/S(λ, C)) 表示在波长λ下浓度为C时的K/S值。

我们通过拟合得到了a和b的数值，将其代入上述拟合曲线中，就可以用这个拟合曲线来近似描述着色剂的K/S与浓度之间的关系。在实际使用中，这个拟合曲线可以帮助我们预测在不同浓度下的K/S值，从而更好地理解着色剂的特性和调整配色方案。

表格中，每个着色剂的拟合关系式应填写为： R(λ,C)=a∗(K/S(λ,C))bR(λ, C) = a * (K/S(λ, C))^b

下面是问题1的计算过程和结果：

非线性拟合的目标是找到一个合适的数学模型（一般是一个函数），通过调整该模型的参数，使得模型的预测值与实验数据之间的误差最小。

对于非线性拟合，常用的方法是最小二乘法，它是一种优化方法，通过最小化实验数据与拟合模型之间的误差平方和来找到最佳的拟合参数。具体步骤如下：

选择一个合适的拟合模型。根据实验数据的特点，选择适当的函数形式来描述数据之间的关系。比如，可以选择指数函数、幂函数、对数函数、高斯函数等。

定义误差函数。误差函数用于衡量拟合模型的预测值与实验数据之间的差异。最常见的误差函数是残差平方和，即将实验数据的观测值与拟合模型的预测值之差平方后求和。拟合的目标是使误差函数最小化。

优化参数。使用优化算法，例如最小二乘法或梯度下降法，来寻找使误差函数最小化的模型参数。这些算法通过迭代的方式，不断调整参数直到找到最佳拟合结果

拟合结果评估。一旦找到最佳拟合参数，需要对拟合结果进行评估，检查拟合的质量和可信度。常用的评估指标包括拟合曲线与实验数据的残差、决定系数R-squared等。

现在我们来拟合每种着色剂的K/S与浓度的关系，并填写表格中的函数关系式和拟合系数。

首先，我们需要根据附件2中的数据计算出K/S(λ, C)值。然后，我们使用非线性拟合方法来得到每个着色剂在不同波长下的拟合系数a和b。

对于红着色剂： 假设红着色剂的K/S数据存储在红K/S列表中，浓度数据存储在红浓度列表中，目标样本的反射率R数据存储在红R列表中。

 
red_KS = [0.05, 0.04, 0.03, ...]
red_concentration = [0.2, 0.4, 0.6, ...]
red_R = [0.85, 0.70, 0.60, ...]
# 使用非线性拟合方法，得到红着色剂的拟合系数a和bfrom scipy.optimize import curve_fit
def fit_function(KS, a, b):
    return a * (KS ** b)
 
 
red_params, _ = curve_fit(fit_function, red_KS, red_R)
# 将拟合系数填入表格
table_red_function = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(red_params[0], red_params[1])
table_red_fit_coefficient_a = red_params[0]
table_red_fit_coefficient_b = red_params[1]
 
def get_fit_params(KS, R):
    params, _ = curve_fit(fit_function, KS, R)
    return params[0], params[1]
 
# Fit red pigment
red_a, red_b = get_fit_params(red_KS, red_R)
table_red_function = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(red_a, red_b)
table_red_fit_coefficient_a = red_a
table_red_fit_coefficient_b = red_b
 
# Fit yellow pigment
yellow_a, yellow_b = get_fit_params(yellow_KS, yellow_R)
table_yellow_function = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(yellow_a, yellow_b)
table_yellow_fit_coefficient_a = yellow_a
table_yellow_fit_coefficient_b = yellow_b
 
# Fit blue pigment
blue_a, blue_b = get_fit_params(blue_KS, blue_R)(含打码，见完整版）
table_blue_function = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(blue_a, blue_b)
table_blue_fit_coefficient_a = blue_a
table_blue_fit_coefficient_b = blue_b

对于黄着色剂和蓝着色剂，按照上述步骤进行拟合，计算得到黄着色剂和蓝着色剂在不同波长下的拟合系数a和b，填入表格。

最后，将计算得到的函数关系式和拟合系数填入表格中。最终表格应包含红、黄、蓝三种着色剂在不同波长下的函数关系式和拟合系数a、b。

问题2:请建立不透明制品配色的优化模型。在已知目标样的R 值(附件3) 的前提下，基于光谱三刺激值加权表(附件1)与着色剂K/S 基础数据库(附件 2),运用优化模型配出与目标样的色差最为接近的10个不同配方，要求色差小 于 1。

首先，我们需要定义目标函数和约束条件。

目标函数：我们希望最小化配方与目标样的色差。色差可以使用CIELAB色差来衡量，该色差可以根据给定的颜色参数L*（明度）、a*（红绿色度）和b*（黄蓝色度）计算。色差越小表示配方与目标样的颜色越接近。因此，目标函数可以定义为最小化色差的和。

CIELAB颜色空间是一种设备无关的颜色空间，它可以表示所有可见颜色，并且在颜色感知上更加接近人类视觉的感知。

CIELAB色差计算是通过计算两个颜色在L*、a*、b三个通道上的差异来表示它们之间的颜色差异。这三个通道分别表示明度（L），红绿色度（a*），和黄蓝色度（b*）。其中，L表示颜色的明暗程度，a表示红绿色调，正值表示红色，负值表示绿色，b*表示黄蓝色调，正值表示黄色，负值表示蓝色。

CIELAB色差的计算方法如下：

首先，计算目标颜色和参考颜色在CIELAB颜色空间中的L*、a*、b值，分别记为L_1, a_1, b_1和L_2, a_2, b*_2。

计算在三个通道上的差异，即 ：，，ΔL∗,Δa∗,Δb∗：ΔL∗=L1−L2，Δa∗=a1−a2，Δb∗=b1−b2ΔL*, Δa*, Δb*： ΔL* = L_1 - L_2，Δa* = a_1 - a_2， Δb* = b_1 - b_2

最终的色差ΔE可以通过以下公式计算： ΔE=(ΔL∗2+Δa∗2+Δb∗2)ΔE = \sqrt{(ΔL_*^2 + Δa_*^2 + Δb_*^2)}

ΔE表示两个颜色在CIELAB颜色空间中的色差。当ΔE越小，表示两个颜色在视觉上越接近，即颜色差异越小；反之，当ΔE*越大，表示两个颜色在视觉上差异越大，颜色差异越大。

CIELAB色差广泛应用于色彩测量、配色、色彩匹配等领域，它是一种在不同光照条件和设备上保持一致性的可靠的颜色差测量标准。

约束条件：我们需要确保配方的配色参数在合理范围内，并且配方的反射率R应该与目标样的反射率R尽可能接近。

接下来，我们搜索最佳配色方案。

# 导入优化库
from scipy.optimize import minimize
 
# 目标样的R值（附件3，示例数据）
target_R = [0.85, 0.70, 0.60, ..., 0.55]
 
# 三刺激值加权表（附件1，示例数据）
weights = [wavelength_1_weight, wavelength_2_weight, ..., wavelength_n_weight]
 
# 着色剂K/S基础数据库（附件2，示例数据）
red_KS = [0.05, 0.04, 0.03, ...]
yellow_KS = [0.08, 0.07, 0.06, ...]
blue_KS = [0.12, 0.10, 0.08, ...]
 
# 定义目标函数
def color_difference(parameters):
 # parameters包含每种着色剂的浓度
 red_concentration, yellow_concentration, blue_concentration = parameters
 
 # 计算配方的反射率R
 red_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_red_fit_coefficient_a, table_red_fit_coefficient_b)
 yellow_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_yellow_fit_coefficient_a, table_yellow_fit_coefficient_b)
 blue_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_blue_fit_coefficient_a, table_blue_fit_coefficient_b)
 
 # 计算每个波长下的反射率
 calculated_R = [calculate_R(wavelength, red_R_formula, red_KS, red_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, yellow_R_formula, yellow_KS, yellow_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, blue_R_formula, blue_KS, blue_concentration, weights)]
 
 # 计算色差
 color_diff = calculate_color_difference(calculated_R, target_R)
 
 # 最小化色差
 return sum(color_diff)
 
# 定义约束条件
def constraint(concentration):
 return sum(concentration) - 1.0
 
# 配色优化
result = minimize(color_difference, x0=[0.5, 0.2, 0.3], constraints={'type':'eq', 'fun': constraint}, bounds=[(0, 1), (0, 1), (0, 1)])
 
# 输出结果
if result.success:
 best_concentration = result.x
 print("Best concentrations:", best_concentration)
else:
 print("Optimization failed!")
 (含打码，见完整版）

代码输出的结果是最优的着色剂配方，即使得配方与目标样的色差最小的一组浓度组合。

在代码中，优化部分使用了scipy.optimize.minimize函数来实现非线性优化。我们定义了目标函数color_difference，该函数计算了配方与目标样的色差，并将其转化为一个最小化问题。同时，我们也定义了约束函数constraint，该函数保证着色剂的浓度之和为1，这是因为着色剂的总重量需要等于基材的重量。

代码中的优化部分会尝试寻找使目标函数最小化的着色剂浓度组合，从而使得配方的色差最小。最终结果将存储在result.x中，其中result.x是一个数组，包含了红、黄、蓝三种着色剂的最优浓度。

问题3:在问题2的基础上，考虑成本控制和批量配色，改进配色模型。对 2kg 的基底材料进行配色，求出与目标样(附件3)之间色差最为接近的10个不 同配方，要求色差小于1。色母粒单位克重价格见附件4。

为了解决问题3，我们需要对问题2中的优化模型进行改进，加入成本控制和批量配色的考虑。我们可以考虑将色母粒的价格纳入目标函数，并加入约束条件来限制总成本不超过预算。下面是一个简化的伪代码来实现这个改进的配色优化模型：

from scipy.optimize import minimize
 
# 目标样的R值（附件3，示例数据）
target_R = [0.85, 0.70, 0.60, ..., 0.55]
 
# 三刺激值加权表（附件1，示例数据）
weights = [wavelength_1_weight, wavelength_2_weight, ..., wavelength_n_weight]
 
# 着色剂K/S基础数据库（附件2，示例数据）
red_KS = [0.05, 0.04, 0.03, ...]
yellow_KS = [0.08, 0.07, 0.06, ...]
blue_KS = [0.12, 0.10, 0.08, ...]
 
# 色母粒价格（附件4，示例数据）
red_price_per_gram = 0.05
yellow_price_per_gram = 0.03
blue_price_per_gram = 0.08
 
# 定义目标函数
def color_difference_with_cost(parameters):
 # parameters包含每种着色剂的浓度
 red_concentration, yellow_concentration, blue_concentration = parameters
 
 # 计算配方的反射率R
 red_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_red_fit_coefficient_a, table_red_fit_coefficient_b)
 yellow_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_yellow_fit_coefficient_a, table_yellow_fit_coefficient_b)
 blue_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_blue_fit_coefficient_a, table_blue_fit_coefficient_b)
 
 # 计算每个波长下的反射率
 calculated_R = [calculate_R(wavelength, red_R_formula, red_KS, red_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, yellow_R_formula, yellow_KS, yellow_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, blue_R_formula, blue_KS, blue_concentration, weights)]
 
 # 计算色差
 color_diff = calculate_color_difference(calculated_R, target_R)
 
 # 计算总成本
 total_cost = red_concentration * red_price_per_gram + yellow_concentration * yellow_price_per_gram + blue_concentration * blue_price_per_gram
 
 # 最小化色差并控制总成本不超过预算
 if total_cost <= max_budget:
 return sum(color_diff)
 else:
 # 如果总成本超过预算，则返回一个很大的值，使得该配方不会被选中
 return 1000.0
 
# 定义约束条件
def constraint(concentration):
 return sum(concentration) - 1.0
 
# 配色优化
max_budget = 100.0  # 假设预算为100元
result = minimize(color_difference_with_cost, x0=[0.5, 0.2, 0.3], constraints={'type':'eq', 'fun': constraint}, bounds=[(0, 1), (0, 1), (0, 1)])
 
# 输出结果
if result.success:
 best_concentration = result.x
 print("Best concentrations:", best_concentration)
else:
 print("Optimization failed!")
 (含打码，见完整版）

在这个改进的配色优化模型中，我们添加了对总成本的约束条件，使得优化算法在寻找最佳配方时，不仅考虑色差最小化，还要确保总成本不超过预算。我们通过设置一个预算上限（假设为100元）来控制配色成本。如果某个配方的总成本超过预算，我们将其色差设为一个很大的值，使得该配方不会被选中。

这个改进的优化模型可以帮助我们在色彩接近目标样的前提下，找到满足预算的最佳配方，从而实现成本控制和批量配色。

总成本的约束条件是在配色优化过程中加入的限制，以确保所得到的配方的总成本不超过预定的预算上限。在问题3中，我们假设有一个预算上限 max_budget，用来控制配色的成本。

具体说一下总成本的约束条件如下：

首先，我们定义每种着色剂的浓度为 red_concentration, yellow_concentration, 和 blue_concentration。

然后，我们计算每种着色剂在配方中所用的色母粒的总重量，分别为 red_concentration * red_price_per_gram, yellow_concentration * yellow_price_per_gram, 和 blue_concentration * blue_price_per_gram。

最后，我们将每种色母粒的总重量相加，并与预算上限 max_budget 进行比较，将其作为一个约束条件。这个约束条件表示每种着色剂所用的色母粒总重量不得超过预算上限。如果该约束条件被满足，则说明该配方的总成本在预算上限范围内，优化算法可以继续考虑该配方的色差情况。如果该约束条件不被满足（即总成本超过预算上限），则该配方的色差会被设置为一个很大的值，使得该配方在优化过程中被排除，从而确保总成本控制在预算范围内。

问题4:在实际生产中，配色所需要的着色剂越少越好，基于此，在问题3 的基础上，寻找附件3中前5个样本的最优的配色方案，要求每个样本配出5 个不同的配方且色差小于1。

问题4中，我们需要在实际生产中寻找附件3中前5个样本的最优配色方案。我们希望每个样本配出5个不同的配方，并且要求每个配方的色差小于1。同时，我们希望在配色过程中使用的着色剂越少越好，以降低成本和复杂性。

为了实现这个目标，我们可以采用多目标优化的方法，比如多目标遗传算法或多目标粒子群优化算法。在这种情况下，我们将目标函数设为配色的色差和所用着色剂的种类数。优化算法将尝试找到在色差小于1的前提下，尽可能减少着色剂种类的配色方案。

from scipy.optimize import minimize
 
# 目标样的R值（附件3，示例数据，前5个样本）
target_samples_R = [
 [0.85, 0.70, 0.60, ..., 0.55],
 [0.78, 0.63, 0.52, ..., 0.47],
 [0.70, 0.58, 0.48, ..., 0.45],
 [0.65, 0.52, 0.45, ..., 0.42],
 [0.80, 0.67, 0.58, ..., 0.53]
]
 
# 三刺激值加权表（附件1，示例数据）
weights = [wavelength_1_weight, wavelength_2_weight, ..., wavelength_n_weight]
 
# 着色剂K/S基础数据库（附件2，示例数据）
red_KS = [0.05, 0.04, 0.03, ...]
yellow_KS = [0.08, 0.07, 0.06, ...]
blue_KS = [0.12, 0.10, 0.08, ...]
 
# 色母粒价格（附件4，示例数据）
red_price_per_gram = 0.05
yellow_price_per_gram = 0.03
blue_price_per_gram = 0.08
 
# 定义目标函数
def color_difference_with_cost_and_num_of_colors(parameters):
 # parameters包含每种着色剂的浓度
 red_concentration, yellow_concentration, blue_concentration = parameters
 
 # 计算配方的反射率R
 red_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_red_fit_coefficient_a, table_red_fit_coefficient_b)
 yellow_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} sadfsadf* (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_yellow_fit_coefficient_a, table_yellow_fit_coefficient_b)
 blue_R_formula = "R(λ, C) = {:.4f} * (K/S(λ, C))^{:.4f}".format(table_blue_fit_coefficient_a, table_blue_fit_coefficient_b)
 
 # 计算每个波长下的反射率
 calculated_R = [calculate_R(wavelength, red_R_qwrqwerformula, red_KS, red_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, yellow_R_formula, yellow_KS, yellow_concentration, weights),
 calculate_R(wavelength, blue_R_formula, blue_KS, blue_concentration, weights)]
 
 # 计算色差
 color_diff = []
 for sample_R in target_samples_R:asfdsdf
 color_diff.append(calculate_color_difference(calculated_R, sample_R))
 
 # 计算总成本
 total_cost = red_concentration * red_price_per_gram + yellow_concentration * yellow_price_per_gram + blue_concentration * blue_price_per_gram
 
 # 最小化色差并控制总成本不超过预算
 if total_cost <= max_budget:
 return sum(color_diff), len(set([i for i in parameters if i > 0]))
 else:adsad
 # 如果总成本超过预算，则返回一个很大的值，使得该配方不会被选中
 return 1000.0, len(set([i for i in parameters if i > 0]))
 
# 定义约束条件
def constraint(concentration):
 return sum(concentration) - 1.0
 
# 配色优化
max_budget = 100.0  # 假设预算为100元
best_results = []
for target_qwdR in target_samples_R:
 result = minimize(color_difference_with_cost_and_num_of_colors, x0=[0.5, 0.2, 0.3], constraints={'type':'eq', 'fun': constraint}, bounds=[(0, 1), (0, 1), (0, 1)])
 if result.success:
 best_concentration = result.x
 best_results.append(best_concentration)
 else:
 print("Optimization failed for target sample!")
 
# 输出结果
for idx, best_concentration in enumerate(best_results):
 print("Best concentrations for target sample", idx + 1, ":", best_concentration)(含打码，见完整版）

我们希望在实际生产中寻找附件3中前5个样本的最优配色方案。我们的目标是找到每个样本的5个不同配方，使得每个配方的色差都小于1，并且尽可能地减少所使用的着色剂的种类数，以降低成本和复杂性。

 

为了实现这个目标，我们将色差和着色剂种类数作为优化目标，这被称为多目标优化。我们不仅关注色差的大小，还考虑了着色剂的种类数，这样可以得到更加多样化且经济高效的配色方案。

具体解释如下：

目标函数：我们将两个目标合并成一个多目标函数，这样我们可以在一个优化过程中同时考虑色差和着色剂种类数。目标函数包括两部分：色差和着色剂种类数。

a. 色差：我们使用之前定义的色差计算方法，计算每个配方与目标样本的色差。我们希望色差越小越好，因为这表示配方与目标样本的颜色越接近。色差作为目标函数中的第一个目标，我们希望最小化它。

b. 着色剂种类数：我们使用集合的长度来表示每个配方中所使用的着色剂种类数。集合中的元素代表每种着色剂的浓度，如果某种着色剂的浓度大于0，说明该着色剂被用到了。因此，我们希望尽可能减少着色剂种类数，以降低成本和复杂性。着色剂种类数作为目标函数中的第二个目标，我们希望最小化它。

多目标优化：我们使用多目标优化算法来处理这个多目标函数。多目标优化算法会尝试在色差小于1的前提下，找到一系列具有不同着色剂种类数的配色方案。这些方案被称为"非支配解"，因为它们在多个目标上都没有更好的选择。

输出结果：优化算法会找到一系列配色方案，每个样本有5个不同的配方。这些方案的色差都小于1，并且尽可能减少着色剂种类数。我们可以从这些非支配解中选择最适合实际需求的配色方案。

具体的论文与思路全解如下

2023 华数杯（B题）New!深度剖析|数学建模完整代码+建模过程全解全析