【数据结构与算法】AOV网、AOE网、关键路径_aov aoe

AOV网、AOE网

AOV网

若用DAG图 (有向无环图) 表示一个工程，顶点表示活动，有向边<i,j>表示顶点i必须先与顶点j进行，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，简称AOV网络。

AOV网络是一个不带权的DAG图、边仅表示活动的先后关系。

例如：

AOE网

若用带权DAG图表示一个工程，顶点表示事件，有向边表示活动，有向边<i，j>的权值表示活动 i -> j 的开销，则将这种带权有向图称为用边表示活动的网络，简称AOE网。

AOE网络是一个带权的DAG图，用边表示事件的先后顺序和活动的开销。

在AOE网络中，仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点），它表示整个工程的开始，也仅有一个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点），它表示整个工程的结束。

例如：

关键路径

在AOE网络中，有些活动是可以并行进行的。从源点到汇点的路径可能有多条，并且这些路径的长度可能不同。只有所有路径上的活动都已完成，整个工程才算结束。

因为活动是可以并行执行的，所以完成整个工程所需的开销取决于路径长度最长的那条路径。于是，我们把从源点到汇点的所有路径中，路径长度最长的路径称为关键路径，关键路径上的活动称为关键活动

寻找关键路径

如果不需要写计算过程，那么寻找关键路径，我们可以直接根据定义式来肉眼观察（这也是软考中找关键路径的常用技巧）

例如：

根据肉眼观察，1->3->5的路径长度为8，是最长的路径，那么关键路径就是1->3->5。

注意：关键路径不是只有唯一的一条，所有的路径长度是最长的路径都是关键路径

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如果需要写计算过程，那么非常的繁琐了，我们先介绍一下计算中常用的几个参量：

事件 $v_k$ 的最早发生时间$v_e(k)$

$v_e(k)$表示事件 $v_k$ 的最早发生时间，指的是从源点到顶点$v_k$的最长路径长度，具体可由下面的公式来从源点开始往后递推：

$v_e(源点)=0$，

v e ( k ) = M a x { v e ( j ) + w e i g h t ( v j , v k ) } v_e(k)=Max\{v_e(j) + weight(v_j, v_k)\} ve​(k)=Max{ve​(j)+weight(vj​,vk​)}，$v_k$为$v_j$的任意后继，$weight(v_j,v_k)$表示$<v_j,v_k>$上的权值。

事件 $v_k$ 的最迟发生时间$v_l(k)$

最迟发生时间指在不推迟整个工程完成的情况下，事件$v_k$的发生时间，具体可按照下面的公式，从汇点开始往前递推：

$v_l(汇点)=v_e(汇点)$，

v l ( k ) = M i n { v l ( j ) − w e i g h t ( v k , v j ) } v_l(k)=Min\{v_l(j) - weight(v_k, v_j)\} vl​(k)=Min{vl​(j)−weight(vk​,vj​)}，$v_k$为$v_j$的任意前驱。

活动 $a_i$ 的最早开始时间 $e(i)$

若用边 $<v_k,v_j>$ 表示活动 $a_i$，则 $e(i)=v_e(k)$

活动 $a_i$ 的最迟开始时间 $l(i)$

若用边 $<v_k,v_j>$ 表示活动 $a_i$，则 $l(i)=v_l(j)-weight(v_k,v_j)$

一个活动 $a_i$ 的最迟开始时间和其最早开始时间的差值 $d(i)$

$d(i)=l(i)-e(i)$

若 $l(i)-e(i)=0$则称活动 $a_i$是关键活动

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求关键路径的算法步骤如下：

1. 从源点出发，按照拓扑排序计算各顶点的 $v_e()$
2. 从汇点出发，按照逆拓扑排序计算各顶点的 $v_l()$
3. 根据 $v_e()$ 求各活动的 $e()$
4. 根据 $v_l()$ 求各活动的 $l()$
5. 求所有活动的 $d()$
6. 找出 $d()=0$的活动构成关键路径

虽然计算简单，但是过程是真的非常麻烦啊！！！！！

例如：

1、从源点出发，计算各顶点的 $v_e()$：

$v_e(1)=0$

$v_e(2)=v_e(1)+2=2$

$v_e(3)=v_e(1)+3=3$

$v_e(4)=v_e(2)+1=3$

v e ( 5 ) = M a x { v e ( 4 ) + 3 , v e ( 3 ) + 5 , v e ( 2 ) + 4 } = v e ( 3 ) + 5 = 8 v_e(5)=Max\{v_e(4)+3, v_e(3)+5, v_e(2)+4\} = v_e(3)+5 = 8 ve​(5)=Max{ve​(4)+3,ve​(3)+5,ve​(2)+4}=ve​(3)+5=8

2、从汇点出发，计算各顶点的 $v_l()$

$v_l(5)=v_e(5)=8$

$v_l(4)=v_l(5)-3=5$

$v_l(3)=v_l(5)-5=3$

v l ( 2 ) = M i n { v l ( 4 ) − 1 , v l ( 5 ) − 4 } = 4 v_l(2)=Min\{v_l(4)-1, v_l(5)-4\}=4 vl​(2)=Min{vl​(4)−1,vl​(5)−4}=4

$v_l(1)=0$

3、根据 $v_e()$ 求各活动的 $e()$

$e(1->2)=v_e(1)=0$

$e(1->3)=v_e(1)=0$

$e(2->4)=v_e(2)=2$

$e(2->5)=v_e(2)=2$

$e(3->5)=v_e(3)=3$

$e(4->5)=v_e(4)=3$

4、根据 $v_l()$ 求各活动的 $l()$

$l(1->2)=v_l(2)-2=2$

$l(1->3)=v_l(3)-3=0$

$l(2->4)=v_l(4)-1=4$

$l(2->5)=v_l(5)-4=4$

$l(3->5)=v_l(5)-5=3$

$l(4->5)=v_l(5)-3=5$

5、求所有活动的 $d()$

$d(1->2)=l(1->2)-e(1->2)=2$

$d(1->3)=l(1->3)-e(1->3)=0$

$d(2->4)=l(2->4)-e(2->4)=2$

$d(2->5)=l(2->5)-e(2->5)=2$

$d(3->5)=l(3->5)-e(3->5)=0$

$d(4->5)=l(4->5)-e(4->5)=2$

6、找出 $d()=0$的活动构成关键路径

$d(1->3)=d(3->5)=0$ 所以关键路径为 1->3->5 关键路径长度为8

全篇结束，感谢阅读！