最小堆原理与实现

基本概念：

1、完全二叉树：若二叉树的深度为h，则除第h层外，其他层的结点全部达到最大值，且第h层的所有结点都集中在左子树。

2、满二叉树：满二叉树是一种特殊的的完全二叉树，所有层的结点都是最大值。

定义：
1、堆是一颗完全二叉树；

2、堆中的某个结点的值总是大于等于（最大堆）或小于等于（最小堆）其孩子结点的值。

3、堆中每个结点的子树都是堆树。

最大堆，最小堆类似，以下以最小堆为例进行讲解。

最小堆是满足以下条件的数据结构：

它是一棵完全二叉树；
所有父节点的值小于或等于两个子节点的值；

TOP K问题 ：Top K指的是从n（很大）个数据中，选取最大（小）的k个数据。例如学校要从全校学生中找到成绩最高的500名学生，再例如某搜索引擎要统计每天的100条搜索次数最多的关键词。

 

堆排序解决TOP K

对于TOPK问题，解决方法有很多：

方法一：对源数据中所有数据进行排序，取出前K个数据，就是TopK。

但是当数据量很大时，只需要k个最大的数，整体排序很耗时，效率不高。

方法二：维护一个K长度的数组a[]，先读取源数据中的前K个放入数组，对该数组进行升序排序，再依次读取源数据第K个以后的数据，和数组中最小的元素（a[0]）比较，如果小于a[0]直接pass，大于的话，就丢弃最小的元素a[0]，利用二分法找到其位置，然后该位置前的数组元素整体向前移位，直到源数据读取结束。

这比方法一效率会有很大的提高，但是当K的值较大的时候，长度为K的数据整体移位，也是非常耗时的。

对于这种问题，效率比较高的解决方法是使用最小堆。
 

最小堆思路

最小堆（小根堆）是一种数据结构，它首先是一棵完全二叉树，并且，它所有父节点的值小于或等于两个子节点的值。

最小堆的存储结构（物理结构）实际上是一个数组。如下图：

堆有几个重要操作：

BuildHeap：将普通数组转换成堆，转换完成后，数组就符合堆的特性：所有父节点的值小于或等于两个子节点的值。

Heapify(int i)：当元素i的左右子树都是小根堆时，通过Heapify让i元素下降到适当的位置，以符合堆的性质。

回到上面的取TopK问题上，用最小堆的解决方法就是：先去源数据中的K个元素放到一个长度为K的数组中去，再把数组转换成最小堆。再依次取源数据中的K个之后的数据和堆的根节点（数组的第一个元素）比较，根据最小堆的性质，根节点一定是堆中最小的元素，如果小于它，则直接pass，大于的话，就替换掉跟元素，并对根元素进行Heapify，直到源数据遍历结束。

 

最小堆解决TOPK

最小堆的实现：

public class MinHeap
{
	// 堆的存储结构 - 数组
	private int[] data;
	
	// 将一个数组传入构造方法，并转换成一个小根堆
	public MinHeap(int[] data)
	{
		this.data = data;
		buildHeap();
	}
	
	// 将数组转换成最小堆
	private void buildHeap()
	{
		// 完全二叉树只有数组下标小于或等于 (data.length) / 2 - 1 的元素有孩子结点，遍历这些结点。
		// *比如上面的图中，数组有10个元素， (data.length) / 2 - 1的值为4，a[4]有孩子结点，但a[5]没有*
        for (int i = (data.length) / 2 - 1; i >= 0; i--) 
        {
        	// 对有孩子结点的元素heapify
            heapify(i);
        }
    }
	
	private void heapify(int i)
	{
		// 获取左右结点的数组下标
        int l = left(i);  
        int r = right(i);
        
        // 这是一个临时变量，表示 跟结点、左结点、右结点中最小的值的结点的下标
        int smallest = i;
        
        // 存在左结点，且左结点的值小于根结点的值
        if (l < data.length && data[l] < data[i])  
        	smallest = l;  
        
        // 存在右结点，且右结点的值小于以上比较的较小值
        if (r < data.length && data[r] < data[smallest])  
        	smallest = r;  
        
        // 左右结点的值都大于根节点，直接return，不做任何操作
        if (i == smallest)  
            return;  
        
        // 交换根节点和左右结点中最小的那个值，把根节点的值替换下去
        swap(i, smallest);
        
        // 由于替换后左右子树会被影响，所以要对受影响的子树再进行heapify
        heapify(smallest);
    }
	
	// 获取右结点的数组下标
	private int right(int i)
	{  
        return (i + 1) << 1;  
    }   
 
	// 获取左结点的数组下标
    private int left(int i) 
    {  
        return ((i + 1) << 1) - 1;  
    }
    
    // 交换元素位置
    private void swap(int i, int j) 
    {  
        int tmp = data[i];  
        data[i] = data[j];  
        data[j] = tmp;  
    }
    
    // 获取对中的最小的元素，根元素
    public int getRoot()
    {
    	    return data[0];
    }
 
    // 替换根元素，并重新heapify
	public void setRoot(int root)
	{
		data[0] = root;
		heapify(0);
	}
}

利用最小堆获取TopK：

public class TopK
{
	public static void main(String[] args)
	{
		// 源数据
		int[] data = {56,275,12,6,45,478,41,1236,456,12,546,45};
		
// 获取Top5
		int[] top5 = topK(data, 5);
		
		for(int i=0;i<5;i++)
		{
			System.out.println(top5[i]);
		}
	}
	
	// 从data数组中获取最大的k个数
	private static int[] topK(int[] data,int k)
	{
		// 先取K个元素放入一个数组topk中
		int[] topk = new int[k]; 
		for(int i = 0;i< k;i++)
		{
			topk[i] = data[i];
		}
		
		// 转换成最小堆
		MinHeap heap = new MinHeap(topk);
		
		// 从k开始，遍历data
		for(int i= k;i<data.length;i++)
		{
			int root = heap.getRoot();
			
			// 当数据大于堆中最小的数（根节点）时，替换堆中的根节点，再转换成堆
			if(data[i] > root)
			{
				heap.setRoot(data[i]);
			}
		}
		
		return topk;
}
}

最小堆的删除操作

前面在介绍最小堆解决TOPK问题的时候，已经涉及到建堆、添加元素的过程，接下来介绍最小堆的删除过程。

操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是，
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。

如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。
　　“结点下沉”