N-gram language model 计算 token sequence 几率方法（以 2-gram 为样例）：
$P(y_1, y_2, \dots, y_n ) = P(y_1\mid\mathrm{BOS})P(y_2\mid y_1) \dots P(y_n\mid y_{n-1})$
- 例如：
- $P(\text{beach}\mid\text{nice}) = \frac{C(nice\space beach)}{C(nice)} \\ C(nice \space beach)\text{ means the count of "nice beach"}$
- 如此一来，3-gram就是统计前两个词然后计算下一个词的概率，以此类推 n-gram。
N-gram 出现的问题在于：当采用较大的 n 时，由于数据的稀疏性，会导致条件项从未在语料库中出现，导致最终计算的概率为0。
- 解决方法：采用 language model smoothing ，即让原本概率为0的情况不为0。

Continuous LM

Matrix Factorization：Matrix Factorization（矩阵分解）是一种数学和计算方法，通常用于在机器学习和数据挖掘领域中处理矩阵数据的技术。其主要目标是将一个大矩阵分解成两个或多个较小的矩阵，以捕获矩阵中的隐藏结构和关系。

在Matrix Factorization中，通常有一个大的矩阵，其中包含了许多观测数据点。这些数据点可以代表用户对物品的评分、文档中单词的出现频率、用户和物品之间的关系等等。Matrix Factorization的目标是找到一组较小的矩阵，使它们的乘积近似等于原始矩阵。

在推荐系统中，Matrix Factorization经常被用来解决协同过滤问题，其中用户和物品之间的关系矩阵是非常稀疏的。通过将这个大矩阵分解为两个低维矩阵，可以捕获用户和物品之间的潜在特征，从而更好地预测用户对未知物品的兴趣。

Matrix Factorization的一种常见方法是奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD），它将矩阵分解成三个矩阵，包括一个左奇异向量矩阵、一个奇异值矩阵和一个右奇异向量矩阵。在实际应用中，SVD经常受到矩阵的稀疏性和缺失数据的限制，因此，更常见的方法是使用梯度下降等迭代方法来寻找矩阵的分解。

Matrix Factorization在推荐系统、文本挖掘、图分析等领域中得到广泛应用。它允许数据降维，发现数据中的隐藏特征和关系，从而更好地理解和利用大型矩阵数据。

关键是其采用的 language model smoothing 技术。其来自于推荐算法中的 Matrix Factorization（矩阵分解）。示意图如下：
- 表格中，dog，cat 是前置词汇，表格中的值表示前置词汇后接 ran，jumped等词汇的次数。（二者相交处的格子填共现的频次）
- 我们的目的是尝试使用hi、vi向量来表示各个词汇，也就是找出一个function，输入单词，输出其向量。
- 因此我们采用梯度下降法来找到这些词汇所对应的向量，采用L2损失，Loss函数如图，我们想保证hi·vi的数值接近目前已观察到的次数。
- 然后我们就用向量的乘积来替代原来观察的次数。通过这种方式，它就会自动把0补成学到的参数。由于 dog 和 cat 与其它很多词有类似的共现关系。即便没有见过 dog jumped，但知道 cat jumped，它也会自动学出 dog 和 jumped 的关系。
- 而进一步的，我们也可以将这个过程想象成只有一个隐藏层的神经网络，输入的就是 one-hot vector（独热向量），dog对应维度为1，隐藏层就是词汇的向量表达，输出就是后接词汇的类distribution。由此我们就可以引出 NN-based LM

NN-based LM

其做的事情和上面我们引申的 Continuous LM 相同，就是训练一个 NN。

训练完成后，我们就可以使用这个LM，对之前拆分的概率公式中的各项进行计算。

事实上，NN-based LM 其实出现得比 Continuous LM 还要早。在Continuous LM变得流行之后，才有人把 NN-based LM 找出来。之后随着深度学习崛起，才变成了现在的主流。在2003年，超过15年前发表的文章，Bengio 就有提到过 Word embedding 的概念。它有把中间的参数层可视化出来，就像我们现在看到的词嵌入类比实验可视化一样。

RNN-based LM

有的时候我们需要选取前面词汇更多的情况，也就是5-gram，6-gram甚至更多，这会导致NN的输入序列过长。于是便有了 RNN-based LM 。这样有多长的gram我们就可以做多少。

RNN 有各式各样的变形。曾经人们的想法是，把 RNN 尽可能地做复杂，看能不能做出更强的语言模型。甚至还有人用 Nerual Turning Machine 改一改来做语言模型。近几年也有研究表明，LSTM 加上合适的优化器和正则项就可以表现得很好。也不见得需要用非常神妙的奇技淫巧。

三、如何使用 LM 以改善 LAS

我们要将 LM 和 LAS 相结合。首先我们根据结合的位置和时间来对结合方式进行分类：

Shallow Fusion

这种结合方式非常符合直觉，就是将训练好的LAS和LM算出来的概率取log并进行相加（可以带权重），然后进行束搜索等方式找到最大值并采用。

Deep Fusion

这个是深度融合，也就是将隐藏层的内容拿出来，通过一个Network进行混合，来预测最终的概率分布。示意图如下。因此在采用这种方式的时候，我们还需要对这个用来混合的Network进行训练。但是这样问题也随之而来。就如图中所说，我们无法随时切换我们的 LM。因为不同的LM的隐藏层的每个维度所表示的含义可能都不同。因此我们要是切换LM就需要重新训练用来混合的网络。

什么时候需要我们切换LM？就是当我们在面对不同领域（domain）的发音的时候。比如城市和程式发音相同。如果是工业领域，则城市的概率更高；如果是数学领域，可能就是程式的概率会更高。后续应用中，我们甚至可以针对一个人来做LM，根据这个人的常用词来做个性化的LM。

不过我们也有一个解决方案，那就是可以把语言模型在Softmax之前的输出，得到一个它的维度和词表大小V一样大的向量，再喂给神经网络。这样做的好处是，我们可以随时更换我们想要的语言模型。为什么呢？因为这个灰色的神经网络可能学到的是，看到有什么样的token，要怎么和LAS的输出整合起来。就算是换了语言模型，它还是会输出一个token的概率分布。对一个语言模型来说，在这个词表大小V的向量中，每个维度的意义都是一样。但对不同的语言模型来说，则不一样。对于灰色的神经网络来说，每一维的概率分布，都是对应相同的token。即便是换了语言模型，这一点也不会变。并且这样还有一个好处，那就是你可以不必要使用NN-based 的 LM，传统的 LM 没有隐藏层，但同样也能提供token的概率分布。

然而，这样做也有一个坏处，如果你的vocabulary size，也就是词表大小v很大时，比如采用word作为token，那么得出的向量维度就会很高，就不太好这么做。但如果采用的token的v比较小，比如用字母等作为token，那么就可以这么做。

Cold Fusion

冷融合则与上面两个融合方式不同。这个融合是在LAS尚未完成训练时加入的。也就是在当前环境下，LM已经训练好，但是LAS还未完成训练。我们像Deep Fusion那样将二者相结合，然后再一起训练。

这样做的好处是可以大大加快LAS的训练。因为此时LAS就可以不用去在意LM能够做到的事情，而专注于语音到文本的映射。

也有一定的坏处，那就是这回是真的不能随便换LM了，一换就需要重新训练LAS。在Cold Fusion中，LM自LAS出生时就已经存在了，做一个引导成长的作用。因而切换LM，那么LAS也需要重新成长。

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