大学物理第一章笔记——高等农林院校基础课程教程系列_大学物理 气体笔记

第一章 流体的运动

第一节 理想流体的稳定流动

引入：

流体（fluid）：能够流动的连续性物质。

流动性：液体与气体没有固定的状态，各部分之间很容易发生相对运动，这种相对运动的特征叫做流动性。

流体宏观模型在研究流体运动时的处理方法：将流体看作由无数个流体质元（流体微团）连续地组成的。（微元法）

（一）理想流体

一.理想流体的引入：由于流体具有黏性和可压缩性，一般的流体运动情景比较复杂，所以引入理想流体。

1.膨胀性：通常情况下，压强不变，流体的体积随着温度的升高而变大。（理想气体方程：PV=nRT）

（1）对于一般的液体而言，压缩性和膨胀性都比较小。但在特殊情况下（例如“水击”现象），液体的压缩性就比较强，不可以忽略。压缩性。

（2）对于气体而言，虽然气体的膨胀性、很好，但其流动性很强，在对气体进行压缩的时候，气体便可以迅速流动起来，所以气体可以认为是不可压缩的流体。

2.黏性：流体在运动过程中各层之间有阻碍相对运动的内摩擦力

（1）对于液体，当液体各层之间的相对速度比较小时，小到可以忽略不计，那么液体的黏性便可以忽略不计。

（2）气体的内摩擦力比液体的更小，可以忽略不计。

二.理想流体的定义：完全不可压缩的、没有粘、黏性的流体。

（二）稳定流动

一.稳定流动概念的引入：一般我们研究流体运动有拉格朗日法（着重于流体中流体质元的流动情况——类似于“微元法“）和欧拉法**（经过空间特定点位时的运动情况）。在使用欧拉法研究时，流速、空间位置、时间构成了一个三维信息空间，那么根据多元函数相关定义
$$V=f(s,t)(s为空间位置，t为时间)$$
其中
$$s=f(x,y,z)$$
如果流体体内部的流体质元的速度不变，那么流体质元的速度就是一个关于**s（x，y，z）**的函数
$$V=V(s)=V(f(x,y,z))$$
二.稳定流动

​ 流体流经的空间称为流体空间或流场 。流体的流动状态不随时间变化的流动称为***稳定流动***。

说明（在稳定流动状态下）：

1. 流体在空间各点的速度、密度以及压强分布不变。
2. 流体质元在不同地点的速度可以各不相同。
3. “稳定流动”并不仅限于“理想流体”。

（三）流线和流管

一.流线：类似于电场线，略（欧拉法用到了”场“的思想）

二.流管：由一组流线围成的管状区就是流管。

1. 流体运动时，流管内遵循质量守恒（流进来多少，就流出来多少）

2. 通常我们所建立的物理模型中的流管是**“细流管”**

   注意：所谓的“细流管”并不是粗细之分，细流管是指任意一个截面上的所有点的速度都一样

3. 当横截面积S----->0时，流管就成为了流线。

（四）连续性原理

在t时间内，流入细流管的流体质量
$$\Delta m_1={\rho }_1\Delta V_1={\rho }_1{S}_1{v}_1\Delta t$$
同理，流出的质量

​
$$\Delta m_2={\rho }_2\Delta V_2={\rho }_2{S}_2{v}_2\Delta t$$
根据流体做稳定流动时候的能量守恒
$$\Delta m_1=\Delta m_2$$
那么
$${\rho }_1{S}_1{v}_1={\rho }_2{S}_2{v}_2或者Q_m=\rho Sv=C(C是一个常量，数值上等于“质量流量”)$$
对于不可压缩的流体，密度为常量，则

$$Sv=Q_v=C$$
总结：对于稳定流动的流体，根据连续性定理，体积流量相同

说明：

（1）流量：单位时间内流过某截面的流体体积和流体质量，流体体积和流体质量分别称为体积流量和质量流量

体积流量：
$$Q_V=vS$$
质量流量：
$$Q_m=\rho vS$$
（2）对于分支管道：

第二节 理想流体的伯努利方程

（一）伯努利方程推导

例子引入：理想流体在重力场中稳定流动，去图示细流管，设t内，流体从初位置ac移动到末位置bd。则在t内流过两截面S1与S2的流体体积分别为：

$$\Delta V_1=v_1{S}_1\Delta t$$

$$\Delta V_2=v_2{S}_2\Delta t$$

又由连续性定理：

相同时间内的体积流量的累积，也就是体积相同：
$$\Delta V_1=\Delta V_2=\Delta V$$
由于流体的流动状态保持不变，则运动过程中：

对于重力势能
$$A_G=\rho \Delta Vg{h}_1-\rho \Delta Vg{h}_2$$
对于其他流体质元对其做的功
$$A_1=P_1{S}_1{v}_1\Delta t=P_1\Delta V(A_1是下方的流体质元对其做的功)$$

$$A_2=P_2{S}_2{v}_2\Delta t=P_2\Delta V(A_2是上方流体质元对其做的负功)$$

由动能定理：
$$\rho \Delta Vg{h}_1-\rho \Delta Vg{h}_2+(P_1-P_2)\Delta V=1/2\rho \Delta V(v_1^2-v_2^2)$$
去掉V:
$$P_1+1/2\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+1/2\rho v_2^2+pg{h}_2$$
那么会发现：
$$P+1/2\rho v^2+\rho gh=C(一个常量)$$
但注意：

只是说为了表达简便，舍去了E_kbc

（二）伯努利方程的意义

一.伯努利方程在某种意义上是能量守恒在稳定流动的引申

p1-p2表示单位体积流体流过细流管时s1s2，外部压力做的功

pg（h1-h2）表示单位体积流体流过细流管时s1s2，重力做的功

1/2p(v_1^2-v_22)表示单位体积流体流过细流管时s1s2，动能的变化量

二.伯努利原理应用于流体静力学就是连通器原理

（三）伯努利方程的应用

1.空吸作用：当流体流动时，由于其内部压力减小而把其它物质吸入流体内的现象称为空吸收用。

（1）原理

根据连续性原理：
$$Sv=C$$
和伯努利方程：
$$p+1/2\rho v^2=C$$

我们就知道：s大v小p大，s小v大p小

那么，对于AB段的流体，当流速v比较快的时候，压强p较小，又由于P_amb连通的是大气压，当v足够大时，那么P_AB与P_amb的差值就足够大，竖直细管内的液面就会上升到AB段，然后以雾状喷出。

（2）应用：

喷雾器、水流抽气机（油扩散泵）、家俱喷漆等

(3)对于v的控制，v不能过大，否则液体流出过多，不能呈雾状喷出；不能过小，液体无法流出。

2.文丘里管——用于测流量和流速

​ （液体文丘里管示意图）

​ （气体文丘里管示意图）

3.皮托管流速计

（1）驻点：当流体遇到障碍物受阻时，会在障碍物前有一点，该店流体静止不动。

（2）原理：

4.飞机翼面

上曲下平，上快下慢，上小下大（压强）

5.压强与高度关系的应用

（注意：其中，由于P1与P2直接与大气压相连接，所以P1=P2=P0）

第三节 粘性流体的运动

（一）黏性流体的流动状态

​ 黏性流体的流动状态分为层流、湍流和过渡流三类。

​ 层流：当流体流速不大时，不同流层的流体之间互不混杂，只做相对滑动。这种流动状态称为层流。层流运动还有以下特点：

1.流体在远观轴心处流速最大，与圆管同轴的各层流速随着离轴线距离的增大而减小

2.在管壁处的流体速度为零。

​ 湍流：当流体流速超过一定值时，不同流层流体之间相互混杂，流体做不规则运动的状态称为湍流。

​ 过渡流：流体的流动介于层流和湍流之间的不稳定流动状态称为过渡流。

（二）牛顿黏滞定律

1.流体内摩擦力

​
​ 黏性与内摩擦力：流体在做层流运动的时候，相邻两层之间会存在相对运动，在这两个流层之间会产生一对相互作用力，这种性质叫做黏性，这对相互作用力叫做内摩擦力。

2.牛顿粘滞定律

​ （1）梯度:一个物理量沿着某一个方向上的变化率,称为该物理量的梯度，梯度是一个矢量。

​ （2）

$$对于圆筒状流层，有：F_f=2\pi r\eta \frac{dv}{dz}（\eta 至于物体本身有关）$$

（三）雷诺数：用于判断流体的类型

第四节 粘性流体的流动规律

一.黏性流体的伯努利方程

​ 黏性流体在运动过程中，由于内摩擦力（黏性），会损失一部分能量。
$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{h}_1=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_2+\Delta E$$

$$在上式子中，v和p为同一流管横截面上的平均值。$$

$$\begin{gathered} 对于水平均匀流管（s_1=s_2,v_1=v_2） \\ {P}_1=P_2+\Delta E而在开放的均匀管道作稳定流动时 \\ \rho g{h}_1-\rho g{h}_2=\Delta E \end{gathered}$$

以上的后两个式子分别说明：

必须维持一定压力差，流体才能流动。

必须维持一定高度差，流体才能流动。

二.泊肃叶定律——描述黏性流体在水平管道圆形管道中做稳定流动的运动状态

1.定义：黏滞系数为 的流体在压力差P_1-P_2的作用下，在半径为 R，长为l 的水平圆管中做稳定分层流动，则单位时间内流过圆管任一截面的流体体积为：

$$Q_v=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(P_1-P_2)$$

推导过程：

首先由于流体的流动具有圆柱形对称性，因此我们可以去除一段厚为dr，半径为r的小圆柱体进行研究

其次，根据牛顿第一运动定理，稳定分层流动时的液体中，
$$\begin{gathered} F_f=F_p \\ 即： \\ (P_1-P_2)\pi r^2+2\pi rl\eta \frac{dv}{dr}=0 \end{gathered}$$
整理得
$$-dv=\frac{p_1-p_2}{2\eta l}rdr$$
在0—r上对r进行积分：
$$\begin{gathered} v(r)=-\frac{p_1-p_2}{4\eta l}{r}^2+C \\ 当r=R时： \\ v(R)=0 \\ 那么有：C=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}{R}^2 \end{gathered}$$
现在我们已经得到了这个**“微元小圆柱流体”**的流速表达式，即：
$$v(r)=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}(R^2-r^2)$$
那么，若要求Q_v:
$$Q_v={\int }_0^{R}v2\pi rdr$$
对上列表达式（Qv=Sv）在0到R上进行积分即可：
$$\begin{gathered} Q_V={\int }_0^{R}v2\pi rdr \\ ={\int }_0^{R}v2\pi \frac{(p_1-p_2)}{4\eta l}(R^2-r^2)rdr \end{gathered}$$
最终化为：
$$Q_v=\frac{\pi R^4(p_1-p_2)}{8\eta l}$$

2.公式运用：

（1）测量\eta（比较法）。

（2）若无压强差，流量为零，再一次说明了黏性液体的伯努利定律。

（3）植物蒸腾作用的流体动力学模型

将两单位面积叶片之间细胞间隙内的饱和水汽看成是在半径为R、长为L的圆管中做稳定分层流动。

1面为叶子的一面，而2面为另一面。

中间的小圆柱体就是气孔。

结合伯努利方程和泊肃叶方程：
$$\begin{gathered} 根据伯努利方程： \\ \frac{1}{2}{\rho }_1{v}_1^2+p_1=\frac{1}{2}{\rho }_2{v}_2^2+p_2 \\ 那么 \\ {p}_1-p_2=\frac{1}{2}{\rho }_1(v_2^2-v_1^2) \\ 代入：Q_v=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(P_1-P_2)=\frac{\pi {\rho }_1{R}^4}{16\eta l}(v_2^2-v_1^2) \\ 又由Q_m={\rho }_2{Q}_V \\ 所以：Q_V=\frac{\pi {\rho }_1{\rho }_2{R}^4}{16\eta l}(v_2^2-v_1^2)这就是单位时间内通过单位体积水蒸气质量 \end{gathered}$$

三.斯托克斯公式——描述球形物体在流体中运动所受粘滞阻力的的大小。

1.公式：

$$f=-6\pi \eta rv$$

2.小球在静止液体中的运动情况

半径为r的小球在黏性静止流体中自由降落

（1）小球收到三个力：重力、浮力、粘滞阻力

$$\begin{gathered} G=mg=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{球}g \\ {F}_{浮}=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{流体}g \\ {F}_f=6\pi \eta rv \end{gathered}$$

化简得：
$$v=\frac{2({\rho }_{球}-{\rho }_{流体})g{r}^2}{9\eta }$$
此公式的应用：

（1）测定粘滞系数

（2）v与r^2呈正比，利用沉降分离法分离生物样品

（2）运动状态分析：

/u>在流体中运动所受粘滞阻力的的大小。

1.公式：

$$f=-6\pi \eta rv$$

2.小球在静止液体中的运动情况

半径为r的小球在黏性静止流体中自由降落

[外链图片转存中…(img-0yOIa10c-1616162751489)]

（1）小球收到三个力：重力、浮力、粘滞阻力

$$\begin{gathered} G=mg=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{球}g \\ {F}_{浮}=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{流体}g \\ {F}_f=6\pi \eta rv \end{gathered}$$

化简得：
$$v=\frac{2({\rho }_{球}-{\rho }_{流体})g{r}^2}{9\eta }$$
此公式的应用：

（1）测定粘滞系数

（2）v与r^2呈正比，利用沉降分离法分离生物样品

（2）运动状态分析：

通过分析运动状态以及最终公式，我们发现小球先做一个复杂的变加速运动，最后达到稳定状态的时候，粘滞阻力不再变化，v是一个确定值。我们称这个速度为最终速度、沉降速度、收尾速度。