第十届数学建模新生杯比赛（A题）_湖南省研究生数学建模题目

问题一：

建立模型：线性规划模型

符号说明

列出约束条件与目标函数

约束条件：

                           1.  2a+b<10

                            2. a+b<8

                            3 .b<7

目标函数（max）：z=4a+3b

调用matlab函数

1.函数介绍：

需要调用linprog函数（如用optimproblem函数要求matlab版本在2017及以上），格式如下：

[x,fval]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,up,options)

1.x为取得最值时自变量x的取值

2.fval为取得最值时最值的值； f为目标函数，本题中为：z=4a+3b，表示为[4,3](线代知识）

3.a,b为不等约束，其中a为不等约束左边系数，b为不等约束右边系数

4.aeq,beq为等式约束，aeq为等式左边系数，beq为等式右边系数

5.lb,up分别为自变量自身取值范围。本题中a,b取值范围均为[0,+∞]

6.options为使用的方法种类，一般不做更改

7.注意，linprog函数默认求目标函数最小值，所以如果要求最大值需要使目标函数系数乘以-1

8.linprog函数不等约束方程里默认为Ax<b的形式，如果你得出Bx>C的约束方程，需要乘以-1变成(-B)x<-C的形式

调用解题函数代码：

[x,fval]=linprog([-4,-3],[2,1;1,1;0,1],[10;8;7],[0,0;0,0;0,0],[0;0;0],[0,0],[inf,inf]);
fval=-fval

输出结果：

Optimal solution found.
x =
 
    2.0000
    6.0000
    fval =
 
    26

代码解释：

1、matlab中linprog函数默认求解目标函数最小值，而题目中为了求解最大值，所以把目标函数系数[4,3]改为[-4,-3]，再由fval=-fval求出最大值。

2、由于本题没有等式约束，自变量的取值范围也没有额外要求，所以aeq,beq部分为零矩阵，lb也为零矩阵，ub为无限大。（matlab中inf为+∞)，所以上述主要代码也可以缩减为：

[x,fval]=linprog([-4,-3],[2,1;1,1;0,1],[10;8;7])

问题二

建立模型：整数规划模型

 模型建立与求解

符号和建模就不细说了，下面直接分析求解：

分析：由题目可以确定，目标函数是游泳成绩之和，最优解是其最小值。约束条件是每人只能选取一种游泳方式、每种游泳方式只能一人使用。因此自变量可以设成某个人用某种游泳方式（1~20），例如甲的四种游泳方式对应编号1-4，乙的编号对应5-8…自变量的取值为0、1，表示参加与否。

代码如下(matlab)：

clc;
clear;
c = [66.8 75.6 87 58.6 ...
    57.2 66 66.4 53 ...
    78 67.8 84.6 59.4 ...
    70 74.2 69.6 57.2 ...
    67.4 71 83.8 62.4];
A = zeros(5,20);
for i = 1:4
    A(1,i)=1;A(2,i+4)=1;A(3,i+8)=1;A(4,i+12)=1;A(5,i+16)=1;
end
b = [1,1,1,1,1]';
Aeq = zeros(4,20);
for i = 0:4;
    Aeq(1,1+4*i)=1;Aeq(2,2+4*i)=1;Aeq(3,3+4*i)=1;Aeq(4,4+4*i)=1;
end
beq = [1,1,1,1];
lb = zeros(1,20);
ub = ones(1,20);
intcon = [1:20];
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

结果：

问题三

建立模型：灰色预测模型

模型建立与求解

直接分析问题求解了，论文不能像这样写。

解：

 

 

 

 

 代码实现(matlab)：

%GM(1,N)
clc;
clear;
x0 = [4383 7625 10500 11316 17818 
    83 131 180 195 306 
    146 212 233 259 404];  % 录入数据
[m,n] = size(x0);
x1_d = cumsum(x0,2);  %累加序列
x11 = x1_d(1,:);  
z11=0.5*(x11(1:end-1)+x11(2:end));%紧邻均值生成
b = [-z11' x1_d(2,2:end)' x1_d(3,2:end)'];
y = x0(1,2:end)';
u = b\y   %参数矩阵
%%引入条件
x20 = [x0(2,:),400];
x30 = [x0(3,:),500];
x21 = cumsum(x20);x31 = cumsum(x30);
for k = 0:length(x21)-1
    x1(k+1) = (x0(1,1)-u(2)/u(1)*x21(k+1)-u(3)/u(1)*x31(k+1)).*exp(-u(1)*k)+u(2)/u(1)*x21(k+1)+u(3)/u(1)*x31(k+1);
end
x10hat = [x1(1),diff(x1)];        %进行差分运算
epsilon = x0(1,:) - x10hat(1:end-1);   %计算残差 
delta = abs(epsilon./x0(1,:));   %计算相对误差  
xhat = x10hat(end)  % 预测最终值

 (注：以上仅为解析，并不是评分标准）