MATLAB程序设计与应用 3.1 特殊矩阵_希尔伯特矩阵

MATLAB程序设计与应用

3. 第3章 MATLAB矩阵处理

正如 MATLAB 的名字——“矩阵实验室”的含义一样，MATLAB是由早期专门用于矩阵运算的科学计算软件发展而来的。矩阵是MATLAB最基本的数据形式，MATLAB 的大部分运算或命令都是在矩阵运算的意义下执行的，而且这种运算定义在复数域上。正因为如此，MATLAB 的矩阵运算功能非常丰富，许多含有矩阵运算的复杂计算问题，在MATLAB中很容易得到解决。

因为向量可以看成是仅有一行或一列的矩阵，单个数据（标量)可以看成是仅含一个元素的矩阵，故向量和单个数据都可以作为矩阵的特例来处理。

3.1 特殊矩阵

有一类具有特殊形式的矩阵称为特殊矩阵。常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵等，这些特殊矩阵在应用中具有通用性;还有一类特殊矩阵在专门学科中得到应用，如有名的魔方矩阵、范德蒙（Vandermonde）矩阵、希尔伯特（Hilbert）矩阵等。MATLAB 提供了相应的函数，可以更方便地生成特殊矩阵。

3.1.1 通用的特殊矩阵

常用的产生特殊矩阵的函数：

• zeros：产生全0矩阵，即零矩阵。
• ones：产生全1矩阵，即幺矩阵。
• eye：产生单位矩阵。
• rand：产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。
• randn：产生均值为0 ， 方差为1的标准正态分布随机矩阵。

zeros(m)：产生mxm零矩阵。

zeros(m,n)：产生mxn零矩阵。当m = n 时，等同于zeros(m)。

zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

>> zeros(3)

ans =

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

>> A = [1,2,3;4,5,6];
>> zeros(size(A))

ans =

     0     0     0
     0     0     0
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例子：建立随机矩阵。

• 在区间[20 , 50]内均匀分布的5阶随机矩阵
• 均值为0.6 ， 方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。

产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用 rand 函数，假设得到了一组满足(O,1)区间均匀分布的随机数x,则若想得到在任意[a,b]区间上均匀分布的随机数，只需用yi=a+(b-a)xi,计算即可。产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵使用 randn 函数，假设已经得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得到均值为u，方差为σ ^2的随机数，可用yi=u+σxi,计算出来。

>> x = 20 + (50 - 20) * rand(5)

x =

   44.4417   22.9262   24.7284   24.2566   39.6722
   47.1738   28.3549   49.1178   32.6528   21.0714
   23.8096   36.4064   48.7150   47.4721   45.4739
   47.4013   48.7252   34.5613   43.7662   48.0198
   38.9708   48.9467   44.0084   48.7848   40.3621

>> y = 0.6 + sqrt(0.1) * randn(5)

y =

    0.9272    0.8809    1.0549    0.5677    0.5905
    0.8299    0.2373    0.7028    0.5236    0.5479
    0.5040    0.2620    0.3613    0.7009    0.7985
    0.6929    0.3440    1.0333    0.6989    0.9457
    0.3510   -0.3311    0.0588    0.3265    0.9508
1
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3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵

1. 魔方矩阵

   魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1、2、3、…、n^{2共n个整数组成，每行、每列及两条对角线上的元素和都等于n(n}2+1)/2。MATLAB提供了函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。

   >> magic(3)
   
   ans =
   
        8     1     6
        3     5     7
        4     9     2
   1
   2
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   5
   6
   7

   将[101 , 125]范围内的25个整数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。

   一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65，对其每个元素都加100后,这些和变为565。

   >> M = 100 + magic(5)
   
   M =
   
      117   124   101   108   115
      123   105   107   114   116
      104   106   113   120   122
      110   112   119   121   103
      111   118   125   102   109
   1
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2. 范德蒙矩阵

   范德蒙(Vandermonde）矩阵的一般形式为:

   

   范德蒙矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后一列与倒数第二列对应元素的乘积。如：

   

   可以用一个指定向量生成一个范德蒙矩阵。在 MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范德蒙矩阵。

   >> A = vander([1;2;3;5])
   
   A =
   
        1     1     1     1
        8     4     2     1
       27     9     3     1
      125    25     5     1
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3. 希尔伯特矩阵

   希尔伯特（Hilbert)矩阵是一种数学变换矩阵,它的每个元素

   在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

   希尔伯特矩阵是一个高度病态的矩阵，即任何一个元素发生微小变动,整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大变化,病态程度和阶数相关。在MATLAB中，有一个专门求n阶希尔伯特矩阵的逆矩阵的函数invhilb(n)。

   例子：求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。

   >> format rat % 以有理形式输出
   >> H = hilb(4)
   
   H =
   
          1              1/2            1/3            1/4     
          1/2            1/3            1/4            1/5     
          1/3            1/4            1/5            1/6     
          1/4            1/5            1/6            1/7     
   
   >> H = invhilb(4)
   
   H =
   
         16           -120            240           -140       
       -120           1200          -2700           1680       
        240          -2700           6480          -4200       
       -140           1680          -4200           2800       
   
   >> format %恢复默认输出格式
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4. 托普利兹矩阵

   托普利兹（Toeplitz）矩阵除第一行和第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x，y)，它生成一个以x为第一列,y为第一行的托普利兹矩阵。这里x、 y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。

   >> T = toeplitz(1:6)
   
   T =
   
        1     2     3     4     5     6
        2     1     2     3     4     5
        3     2     1     2     3     4
        4     3     2     1     2     3
        5     4     3     2     1     2
        6     5     4     3     2     1
   1
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5. 伴随矩阵

   多项式

   ，则称矩阵

   为多项式p(x)的伴随矩阵，p(x)称为A的特征多项式，方程p(x) = 0的根称为A的特征值。

   MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan§，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式x^3-7x+6的伴随矩阵：

   >> p = [1,0,-7,6];
   >> compan(p)
   
   ans =
   
        0     7    -6
        1     0     0
        0     1     0
   1
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6. 帕斯卡矩阵

二次项(x+y)^n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上一行对应位置元素相加，即 A(i,j)=A(i,j-1)+A(i-1,j)。函数 pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。

例子：求(x + y) ^ 5的展开式

>> pascal(6)

ans =

     1     1     1     1     1     1
     1     2     3     4     5     6
     1     3     6    10    15    21
     1     4    10    20    35    56
     1     5    15    35    70   126
     1     6    21    56   126   252
1
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10

矩阵次对角线上的元素1、5、10、10、5、1即为展开式的系数。

1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252

矩阵次对角线上的元素1、5、10、10、5、1即为展开式的系数。















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