递归(详解+记忆化递归）_递归的记忆化

递归

一.递归三大要素

1.明确这个函数想要干什么
函数的功能；
2.寻找递归的结束条件
找到递归的参数为什么时，递归结束；
也就是递归的出口；
3.找出函数的等价关系式
不断缩小参数的范围，在递推中把找到子问题，递归解决掉子问题。

递归 = 自己调用自己 + “递归出口”

二.递归思想

所有递归的代码都类似，基本上都是有一个基线条件和一个递归条件；
基线条件（递归出口）：指的是函数不在调用自己，从而避免无限循环；
递归条件（递归调用）：函数调用自己；

伪代码如下：
int f(int n)
{
	if(递归结束条件）
		return ；		//	基线条件;
	else
		return 递归;
						//递归条件;
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三.递归示例讲解

求n的阶乘：

我们都知道：
4的阶乘4！= 4 * 3 * 2 * 1；
5的阶乘5！= 5 * 4 * 3 * 2 * 1；

5的阶乘也就可以另写为5 * 4！；
所以通过递推，我们也就能知道n！= n * （n-1)！

①.n -> n-1就是我们找到的变化的量，作为递归的参数发生改变

②.而求n的阶乘最终也被分解成了求(n-1)的阶乘，这样更小的子问题，这也可以叫做是等价替换式：n! = n * (n-1)!

③.找出口：n一直会乘到1，所以1就是递归的出口
那么根据上述的讨论过程，我们就能够写出阶乘的代码：

int Factorial(int n)
{
	if(n == 1)
		return 1;
	return n * f(n - 1);
}

int main()
{
	int n, sum;
	scanf("%d",&n);
	sum = Factorial(n);
	printf("%d",sum);
	return 0;
}
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同时我们也知道阶乘是能够通过循环实现的
所以：
循环都可以换成递归来实现

四.递归的进阶版——记忆化递归

在递归的过程中我们可能会遇到计算重复的子问题，这个时候就需要用到记忆化递归了。

例如：
斐波那契数列：
1 1 2 3 5 8 13 …

递推关系式：f(n) = f(n-1) + f(n-2);
递归的出口为：f(1) = 1, f(2) = 1;

例如f(6)的求解过程图如下：

我们可以看到，f(4),f(3)…这些都被重复计算了多次，我们可以利用一个数组来记忆，当遇到计算过了值的时候，就直接返回计算的值就好了。

同时我们来讨论一下递归的过程：

当你要计算f(6)的时候就要先计算f(5),当你要计算f(5)的时候，要先计算f(4)，当一直到第四步的f(2)的时候，就返回到上一层，然后计算第五步的f(1),又返回…

由此我们发现，递归的实现就是先向下，再向右；
和二叉树中的先序遍历很相似。

代码如下：

int f(int n,int a[])
{
	if(a[n])
		return a[n];
	return a[n] = f(n-1,a) + f(n-2,a);
}

int main()
{	
	int n, sum, a[50];
	memset(a,0,sizeof(a));
	scanf("%d",&n);
	a[1] = 1;
	a[2] = 1;
	sum = f(n,a);
	printf("%d",sum);
	return 0;
}
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