python库（18）：Sympy库

1 Sympy简介

Python SymPy是一个强大的符号计算库，用于解决数学问题、代数运算、微积分、代数方程求解和符号化处理等任务。SymPy的设计目标是提供一个开源、可扩展的符号计算工具，使数学建模和问题求解变得更加容易。本文将提供关于Python SymPy的全面指南，包括基本概念、安装和配置、符号表达式、代数运算、微积分、方程求解、矩阵操作以及实际应用场景。将通过丰富的示例代码来帮助深入理解SymPy的使用。与我们常用的数学库NumPy不同，Sympy能够处理符号表达式，而不仅仅是数值计算。

SymPy的主要特点包括：

• 符号表达式：SymPy可以创建符号变量和表达式，这些表达式可以代表数学公式和关系。
• 代数运算：可以使用SymPy执行各种代数运算，如加法、减法、乘法、除法、幂运算等。
• 微积分：SymPy支持微积分操作，包括求导、积分、极限和级数展开。
• 方程求解：可以使用SymPy求解各种类型的代数方程，包括线性方程、非线性方程和微分方程。
• 矩阵操作：SymPy提供了用于创建和操作矩阵的工具，包括矩阵乘法、逆矩阵、行化简等

2 安装Sympy库

pip install sympy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

3 代码示例

3.1 符号表达式

在SymPy中，符号表达式是由符号变量和运算符组成的数学表达式。符号变量是表示未知数的符号，可以使用Symbol来创建。

from sympy import symbols
 
x = symbols('x')
print(x)

这段代码会输出x，一个符号变量。

还可以一次性创建多个符号变量：

# 创建多个符号变量
a, b, c = symbols('a b c')

创建了符号变量后，可以使用它们来构建符号表达式，进行各种代数运算。

3.2 化简表达式

Sympy可以轻松地进行代数运算和表达式的化简。比如，我们有一个表达式，我们可以使用Sympy来化简它：

from sympy import symbols
from sympy import simplify
x = symbols('x')
expr = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)
simplified_expr = simplify(expr)
print(simplified_expr)

结果如下：

3.3 微积分

SymPy支持微积分操作，包括求导、积分、极限和级数展开。

（1）求导

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
expr = x**2 + 3*x + 2
derivative = sp.diff(expr, x)
print(derivative)

输出一阶导数如下：

（2）积分

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
expr = x**2 + 3*x + 2
integral = sp.integrate(expr, x)
print(integral)

输出结果为原函数的不定积分，如下：

（3）极限

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
expr = x**2 + 3*x + 2
limit_expr = sp.limit(expr, x, 0)
print(limit_expr)

结果如下：

（4）泰勒级数展开

以下代码为展开sin(x)的前5项级数，及sin(x)在x=0处的泰勒级数展开到5阶：

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
series_expr = sp.series(sp.sin(x), x, 0, 5)
print(series_expr)

结果如下：

3.4 方程求解

（1）一元二次方程

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = sp.solve(equation, x)
print(solutions)

结果如下：

（2）求解线性方程

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
y = sp.symbols('y')
eq1 = sp.Eq(x + y, 5)
solutions = sp.solve(eq1, x)
print(solutions)

结果如下：