[hdu1506 Largest Rectangle in a Histogram]笛卡尔树

题意：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1506 如图，求最大的矩形面积

思路：

笛卡尔树：笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为key，一个为value。光看key的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的key都比它小，右子树都比它大；光看value的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的value是最小（或者最大）的，每个节点的value都比它的子树要小（或者大）。

笛卡尔树的构造算法：从右链插入，同时维护右链的递增或递减序列。

笛卡尔树的性质：中序遍历得到原序列；对每棵子树，它对应一个区间，并且它的根表示的值就是对应区间的最大值或最小值。

虽然利用单调队列也可以非常快的解决问题，但这里用笛卡尔树做下。令f(x)表示高为x的最大矩形面积，则对每个x，有f(x)=(rmax-lmin+1)*x，其中[lmin,rmax]区间的最小值为x。把下标作为key，a数组对应的值作为value，构造笛卡尔树。在笛卡尔树上，对每个x，lmin和rmax都可以利用子树O(1)得到，而建树复杂度也为O(n)，所以总复杂度是O(n)的。

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

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