迭代重建算法中投影矩阵的计算_重建算法投影矩阵

作者：空白诗007 | 2024-07-14 00:03:25

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重建算法投影矩阵

在前面学习的重建算法都是属于解析法，它是以Radon变换为理论基础，首先对投影数据在连续域进行一些处理，然后将其离散化进行重建。接下来学习到的是图像重建的迭代算法，该算法的主要思路是：从一幅假设的初始图象出发，采用逐步逼近的方法，将理论投影值与实际测量投影值进行比较，在某种最优准则下寻找最优解。

该算法本质上类似于解方程组，但是在实际的图像重建过程中，由于运算量巨大、方程的欠定性以及测量误差、噪声的影响等原因，直接通过求逆矩阵来解方程组是比较困难的，很难将其应用在实际生活中。于是产生了一系列迭代方法来解决这个问题。常用的迭代方法包括代数重建法（ART）、联合代数重建算法（SART）、最大似然期望最大化算法（MLEM）和有序子集期望最大化算法（OSEM），其中最后两种算法主要用于PET和SPECT。接下来主要对ART算法进行解释。

ART算法是一个‘行运算’算法，它每次考虑一条射线就更新一次图像。在整个ART运算中，投影矩阵是迭代重建的关键因素，是获取投影数据与断层图像矢量相联系的桥梁。如果求解的投影矩阵越精确，那么重建后的图像的质量越高。在我们计算投影矩阵的时候，主要有四种模型：关于面积、关于是否穿过某个像素、关于是否穿过某个像素的中心、关于穿过某个像素的长度。其中，第一种精确度最高，但是求解也最为复杂，实现起来比较困难。第二种和第三种虽然容易实现，但是精确度太低，重建得到的图像质量不高。第四种是我们最为常用的求解投影矩阵的模型，即易于实现，又可以得到较为满意的图像质量。

ART算法表达式： $X^{next}=X^{current}-\frac{A_{i}X^{current}-p_{i}}{\left \| A_{i} \right \|^{2}}{X_{i}}^{T}$

其中， $A_{i}X$ 执行的是沿着第i条射线的投影运算， $p_{i}$ 是在第i个探测像元上测得的投影数据， $\left \| A_{i} \right \|^{2}=\sum_{j}^{}{a_{ij}}^{2}$ 是沿着第i条射线做反投影。

假设th表示射线的角度0~180，kin：从该像素编号进入，kout：从该像素编号射出，xin：入射点的横坐标，yin：入射点的纵坐标，xout：出射点的横坐标，yout：出射点的纵坐标，delta：像素的尺寸，u(1,2N)：存储射线穿过的像素编号，v(1,2N)：存储射线在穿过的像素内部的长度。下面对几种入射情况进行讨论：

1、th=90

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迭代重建算法中投影矩阵的计算_重建算法 投影矩阵

迭代重建算法中投影矩阵的计算_重建算法投影矩阵