构建堆的时间复杂度_二叉堆建堆时间复杂度

大顶堆、小顶堆是一种很常用的数据结构，例如常见的堆排序和topk算法，在很多应用场景中，我们经常会关注算法时间复杂度和空间复杂度，众所周知构建堆的时间复杂度是o(n)，那么为什么是o(n)？本文主要跟大家讨论下这个问题。

堆是一颗完全二叉树，假设有n个节点，树高

证明方法如下：
1. 假设根节点的高度为0，叶子节点高度为h，那么每层包含的元素个数为2^x，x从0到h。
2. 构建堆的过程是自下而上，对于每层非叶子节点需要调整的次数为h-x，因此很明显根节点需要调整(h-0)次，第一层节点需要调整(h-1)次，最下层非叶子节点需要调整1次。
3. 因此可知，构造树高为h的二叉堆精确时间复杂度为：
s = 1*2^(h-1) + 2*2^(h-2)+……+h*2^0

可以看出以上公式是等差数列和等比数列乘积之和，可以通过错位相减求：
2s = 2^h + 2*2^(h-1)+3*2^(h-2)+……+h*2^1

因此可得:
s = 2s -s = 2^h + 2^(h-1) + 2^(h-2) +…… + 2^1 - h

最终可以通过等比数列公式进行计算得到s = 2*2^h - 2 -h
将代入的s = 2n - 2 - log2(n)，近似的时间复杂度就是O(n)。