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Datawhale统计学习方法打卡Task04_试由表4.1的训练数据

作者：空白诗007 | 2024-07-23 09:04:50

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试由表4.1的训练数据

学习教材《统计学习方法（第二版）》李航

学习内容：第4章朴素贝叶斯法

第4章朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯（naive bayes）法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。朴素贝叶斯法包括朴素贝叶斯的学习与分类、朴素贝叶斯法的参数估计算法。

4.1 朴素贝叶斯法的学习与分类

4.1.1基本方法

设输入空间 $\mathcal X\in \mathbf R^n$ 为n维向量的集合，输出空间为类标记集合 $\mathcal Y=\{c_1, c_2,\cdots,c_K\}$ 。输入特征向量 $x\in \mathcal X$ ，输出为类标记 $y\in \mathcal Y$ 。X是定义在输入空间 $\mathcal X$ 上的随机向量，Y是定义在输出空间 $\mathcal Y$ 上的随机变量。 $P(X,Y)$ 是X和Y的联合概率分布。训练数据集

$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N),\}$

由 $P(X,Y)$ 独立同分布产生。

朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布 $P(X,Y)$ 。具体的，学习一下先验概率分布及条件概率分布。先验概率分布

$P(Y=c_k), \;\;k=1,2,\cdots,K$

条件概率分布：

$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k),\;k=1,2,\cdots,K$

于是学习到联合概率分布 $P(X,Y)$ 。

贝叶斯基本的原理为：

$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_jP(B|A_i)P(A_i)}$

其中：

$P(A)$ 是A的先验概率或边缘概率，就是在不考虑B的情况下A的概率；

$P(A|B)$ 是一致B发生后A的条件概率，所以叫做A的后验概率；

参考网址：贝叶斯公式_百度百科

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设。由于这是一个较强的假设，所以交朴素贝叶斯（区别于一般的贝叶斯方法）。具体的条件独立性假设是：

$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)\\ =\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

朴素贝叶斯分类时，对给定的输入x，通过学习到的模型计算后验概率分布 $P(Y=c_k|X=x)$ ，将后验概率最大的类别作为x的输出。后验概率计算根据贝叶斯定理进行：

$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{\sum_kP(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$

根据条件独立的假设有：

$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(y=c_k)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\sum_kP(y=c_k)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$

这是朴素贝叶斯法分类的基本公式。于是朴素贝叶斯分类器可表示为：

注意到，上式中分母对所有的 $c_k$ 都是相同的，所以，

$y=f(x)=\underset{c_k}{argmax}\frac{P(y=c_k)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}{\sum_kP(y=c_k)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)}$

$y=\underset{c_k}{argmax}P(y=c_k)\prod_jP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

4.1.2后验概率最大化的含义

朴素贝叶斯法将市里分到后验概率最大的类中。这等价与期望风险最小化。假设选择0-1损失函数：

$L(Y,f(X))=\left\{\begin{matrix} 1, &Y\neq f(X) \\ 0,&Y=f(X) \end{matrix}\right.$

式中 $f(X)$ 是分类决策函数。这时，期望风险函数为

$R_{exp}(f)=E[L(Y,f(X))]$

期望是对联合分布 $P(X,Y)$ 取的

$R_{exp}(f)=E_X\sum_{k=1}^K[L(c_k,f(X))]P(c_k|X)$

为了使期望风险最小化，只需对X=x逐个极小化，由此得到：

这样一来，根据期望风险最小化准则就得到了后验概率最大化准则：

$f(x)=\underset{c_k}{argmax}P(c_k|X=x)$

以上是说明为什么将后验概率最大的类作为 $x$ 的类输出。

4.2朴素贝叶斯的参数估计

4.2.1极大似然估计

在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计 $P(Y=c_k)$ 和 $P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$ 。可以应用极大似然估计法估计相应的概率。先验概率 $P(Y=c_k)$ 的极大似然估计是：

$P(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{N},\;k=1,2,\cdots,K$

先验概率就是先在给定的训练集中，计算每个分类占总样本数的比例

第j个特征 $x^{(j)}$ 可能的取值集合为 $\{a_{j1},a_{j2},\cdots,a_{jS_j}\}$ ，条件概率 $P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$ 的极大似然估计是：

$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}$

此处的理解条件概率为，在所有的 $y_i=c_k$ 的样本中， $x^{(j)}=a_{jl}$ 的数量。

4.2.2学习与分类算法

算法4.1 （朴素贝叶斯算法）

上面的过程结合着下面例题的程序看更好理解。

例4.1 试由表4.1的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器，并确定 $x=(2,S)^T$ 的类标记 $y$ 。表中 $X^{(1)},X^{(2)}$ 为特征，取值的集合分别为 $A_1=\{1,2,3\}$ ， $A_2=\{S,M,L\}$ , $Y$ 为类标记， $Y\in C=\{1,-1\}$ 。

解：根据算法4.1,容易计算下列概率：

先验概率：

$P(Y=1)=\frac{9}{15},\;P(Y=-1)=\frac{6}{15}$

条件概率

$P(X^{(1)}=1|Y=1)=\frac{2}{9},P(X^{(2)}=2|Y=1)=\frac{3}{9},P(X^{(3)}=3|Y=1)=\frac{4}{9}$

$P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{1}{9},P(X^{(2)}=M|Y=1)=\frac{4}{9},P(X^{(2)}=L|Y=1)=\frac{4}{9}$

$P(X^{(1)}=1|Y=-1)=\frac{3}{6},P(X^{(2)}=2|Y=-1)=\frac{2}{6},P(X^{(3)}=3|Y=-1)=\frac{1}{6}$

. $P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{3}{6},P(X^{(2)}=M|Y=-1)=\frac{2}{6},P(X^{(2)}=L|Y=-1)=\frac{1}{6}$

对于给定的 $x=(2,S)^T$ 计算：

$P(Y=1)P(X^{(1)}=2|Y=1)P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{9}{15}\frac{3}{9}\frac{1}{9}=\frac{1}{45}$

$P(Y=-1)P(X^{(1)}=2|Y=-1)P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{6}{15}\frac{2}{6}\frac{3}{6}=\frac{1}{15}$

取计算结果最大的分类，所以 $x=(2,S)^T$ 的分类为-1。

4.2.3贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出现要顾及的概率值为0的情况，这时会影响到后验概率的计算结果。采用平滑的方式进行计算：

$P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}-a_{jl},y_i=c_k)+\lambda}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+S_j\lambda}$

式中 $\lambda\geq0$ 。等价于在随机变量各个区直的频数上赋予一个正数 $\lambda$ 。当 $\lambda=0$ 时，就是极大似然函数估计。常取 $\lambda=1$ ，这时称为拉普拉斯平滑。

此时先验概率的贝叶斯估计是：

$P_{\lambda}(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+\lambda}{N+K\lambda}$

例4.2 问题同4.1，按照拉普拉斯平滑估计概率，即取 $\lambda=1$ 。

习题

4.1用极大似然估计法推出朴素贝叶斯法中的概率估计公式4.8及4.9

第一步：极大似然估计的一般步骤

1.写出随机变量的概率分布函数；

2.写出似然函数；

3.对似然函数去对数，得到对数似然函数，并进行化简；

4.对参数进行求导，并令导数等于0；

5.求解似然函数方程，得到参数的值。

第二步：证明公式4.8

$P(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{N},\;k=1,2,\cdots,K$

根据朴素贝叶斯定义可以， $Y=y_1,y_2,\cdots,y_N$ 满足独立同分布，假设 $P(Y=c_k)$ 概率为p，其中 $c_k$ 在随机变量 $Y$ 中出出现的次数 $m=\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)$ ，可得似然函数为：

$L(p|Y)=P(Y=c_k|p)=C_N^mp^m(1-p)^{N-m}$

对似然函数取对数，得到对数似然函数为：

$\begin{aligned} \log L(p|Y)&=\log C_N^mp^m(1-p)^{N-m}\\ &=\log C_N^m+m\log p+(N-m)\log(1-p) \end{aligned}$

使似然函数的导数等于0.

$\begin{aligned} \frac{\partial{\log L(p)}}{\partial{\log p}}&=\frac{m}{p}-\frac{N-m}{1-p}\\ &=\frac{m(1-p)-p(N-m)}{p(1-p)}\\ &=\frac{m-Np}{p(1-p)} =0\end{aligned}$

可得， $P(Y=c_k)=p=\frac{m}{N}$

综上所述：公式4.8得证。#

第三步：证明公式4.9

根据朴素贝叶斯法对条件概率分布独立性的假设可得：

$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},\cdots,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)\\ =\prod_{j=1}^nP(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

根据上述定义，在条件 $Y=c_k$ 下，随机变量X满足条件独立性，假设 $P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$ 的概率为p，其中 $c_k$ 在随机变量Y中出现的次数 $m=\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)$ 。

$y=c_k$ 和 $x^{(j)}=a_{jl}$ 同时出现的次数 $n=\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)$ 。可得似然函数为：

$L(p|X,Y)=P(X^{(j)}=a_{jl},y=c_k|p)=C_m^np^n(1-p)^{m-n}$

与第2步推导过程类似，可求解得到 $p=n/m$ ，带入n和m的公式可得：

$P(x^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=p=\frac{n}{m}=\frac{\sum_{i=1}^NI(x_i^{(j)}=a_jl,y_i=c_k)}{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}$

公式4.9得证。

4.2用贝叶斯估计法推出朴素贝叶斯法中的概率估计公式4.10及公式4.11

解题思路：

1.贝叶斯估计的一般步骤

2.证明公式4.11：假设 $P_\lambda(Y=c_i)$ 服从狄利克雷分布（Dirichlet），根据贝叶斯公式，推导后验概率也服从Dirichlet分布，求参数期望；

3.证明公式4.10：证明通4.11

解体步骤：

第一步：贝叶斯估计的一般步骤

1.确定参数 $\theta$ 的先验概率 $p(\theta)$

2.根据样本集 $D=x_1,x_2,\cdots,x_n$ ,计算似然函数 $P(D|\theta)$ ： $P(D|\theta)=\prod_{i=1}^nP(x_n|D)$

3.利用贝叶斯公式，求 $\theta$ 的后验概率：

$P(\theta|D)=\frac{P(D|\theta)P(\theta)}{\int_\Theta P(D|\theta)P(\theta)d\theta}$

4.计算后验概率分布参数 $\theta$ 的期望，并求出贝叶斯估计值：

$\hat \theta=\underset{\Theta}{\int}\theta\cdot P(\theta|D)d\theta$

第二步：证明公式4.11

$P_{\lambda}(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+\lambda}{N+K\lambda}$

证明思路：

1.条件假设： $P_\lambda(Y=c_k)=u_k$ ，且参数 $\lambda$ 服从Dirichlet分布；随机变量Y出现 $y=c_k$ 的次数为 $m_k$ ;

2.得到u的先验概率 $P(u)$ ;

3.得到似然函数 $P(m|u)$ ;

4.根据贝叶斯公式，计算后验概率 $P(u|m)$

5.计算u的期望 $E(u)$

证明步骤：

1.条件假设

根据朴素贝叶斯的基本方法，训练数据 $T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N)\}$ ，假设：

（1）随机变量Y出现 $y=c_k$ 的次数为 $m_k$ ，即 $m_k=\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)$ ，可知 $\sum_{i=1}^Km_k=N$

（2） $P_\lambda(Y=c_k)=u_k$ ，随机变量 $u_k$ 服从参数为 $\lambda$ 的Dirichlet分布。

2.得到先验概率

根据假设（2）和Dirichlet分布的定义，可得先验概率为

$P(u)=P(u_1,u_2,\cdots,u_K)=C(\lambda)\prod_{k=1}^Ku_k^{\lambda-1}$

3.得到似然函数

记 $m=(m_1,m_2,\cdots,m_K)^T$ ，可得似然函数为

$P(m|u)=u_1^{m1}\cdot u_2^{m2}\cdots u_K^{mK}=\prod_{k=1}^Ku_k^{mk}$

4.得到后验概率分布

结合贝叶斯公式，求 $u$ 的后验概率分布，可得

$P(u|m)=\frac{P(m|u)P(u)}{P(m)}$

根据假设（1）可得

$P(u|m,\lambda)\propto P(m|u)P(u|\lambda)\propto\prod_{k=1}^Ku_k^{\lambda+m_k-1}$

上式表明，后验概率分布 $P(u|m,\lambda)$ 也服从dirichlet分布

5.得到随机变量u的期望

根据后验概率分布 $P(u|m,\lambda)$ 和假设（1），求随机变量u的期望，可得：

$E(u_k)=\frac{\alpha_k}{\sum_{k=1}^K\alpha_k$

其中 $\alpha_k=\lambda+m_k$ ，则：

$\begin{aligned} E(u_k)&=\frac{\alpha_k}{\sum_{i=1}^K\alpha_k}\\ &=\frac{\lambda+m_k}{\sum_{i=1}^K(\lambda+m_k)}\\ &=\frac{\lambda+m_k}{\sum_{i=1}^K\lambda+\sum_{i=1}^Km_k}\\ &=\frac{\lambda+m_k}{K\lambda+N}\\ &=\frac{\lambda+\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)}{K\lambda+N}\\ \end{}$

随机变量 $u_k$ 取 $u_k$ 的期望，可得 $P_{\lambda}(Y=c_k)=\frac{\sum_{i=1}^NI(y_i=c_k)+\lambda}{N+K\lambda}$

公式4.11得证。

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