算法设计与分析：贪心算法（2）- 最短路问题（DP到贪心的优化）_从dp到贪心

本文参考UCAS卜东波老师算法设计与分析课程撰写

前言

在前文：算法设计与分析：贪心算法 - 排课问题（DP与贪心的区别与应用）中，我们初步地了解了贪心算法与动态规划的区别，贪心解决了一个问题的简化版本，不必再大张旗鼓地使用动态规划。本文接着借由最短路径问题来讲述贪心算法的应用。

最短路径问题

问题描述与分析

• 给定一个图$G=⟨V,E⟩$，对于图中每条边$e=⟨i,j⟩$都有一个距离$d_{i,j}$。一个起始点s与一个终点t，问从s到t的最短路径是多少？
  首先寻路问题显然是一个多步决策问题，先考虑用动态规划的方式解决，如果我们直接用$OPT(i,j)$表示点i到点j的最短路径，这个要求太过严苛，因为转移方程无法与明确的$d(u,v)$做关联。因此我们引入一个新的变量k，使得$OPT(i,j)$变成$OPT(i,j,k)$（从i到j经过最多k条边的最短路径），又由于起始点固定，我们只用考虑到达点即可，最终定义$OPT(v,k)$：从s到点v最多经过k条边的最短路径。由此我们可以得到状态转移方程如下：
  O P T ( v , k ) = min ⁡ { O P T ( v , k − 1 ) min ⁡ ⟨ u , v ⟩ ∈ E { O P T ( u , k − 1 ) + d u , v } OPT(v,k) = \min \begin {cases} OPT(v,k-1) \\ \min_{\lang u,v\rang \in E}\{OPT(u,k-1)+d_{u,v}\} \end{cases} OPT(v,k)=min{ OPT(v,k−1)min⟨u,v⟩∈E​{ OPT(u,k−1)+du,v​}​</