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神经网络参数更新

作者：笔触狂放9 | 2024-08-23 06:59:10

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神经网络参数更新

一、参数更新

1.随机梯度下降及各种更新方法

【普通更新】：沿着负梯度方向改变参数

x+= -learning_rate * dx

其中学习率是一个超参数，它是一个固定的常量。

【动量更新】（Momentum）

这个方法在深度网络上几乎总能得到更好的收敛速度。是从物理角度上对最优化问题得到的启发。它将损失值理解为是山的高度（因此高度势能是U=mgh,所以U正比于h）用随机数字初始化参数等同于在某个位置给质点设定初始速度为0，这样，最优化过程可以看做是模拟参数向量（即质点）在地形上滚动的过程

因为作用于质点的力与梯度的潜在能量（F=-▽U）有关，质点所受的力就是损失函数的（负）梯度。还有，因为F=ma,所以在这个观点下，梯度与质点的加速度是成比例的。与SDG不同的是，此处认为梯度只是影响速度，然后速度再影响位置。


# 动量更新
v = mu * v - learning_rate * dx # 与速度融合
x += v # 与位置融合

引入了一个初始化为0的变量v和一个超参数mu,这个mu就是被看做动量（一般设0.9）,但其物理意义与摩擦系数更一致，这个变量有效地抑制了速度，降低了系统的动能，不然质点在山底永远不会停下来。通过交叉验证，这个参数通常设[0.5,0.9,0.95,0.99]中的一个，通过动量更新，参数向量会在任何有持续梯度的方向上增加速度。

【Nesterov动量】最近变得流行，在实践中比标准动量表现更好一些

核心思路：但当参数向量位于某个位置x时，由上述公式知，动量部分会通过mu*v稍微改变参数向量。因此，如果要计算梯度，那么可以将未来的近似位置x+mu*V看做是“向前看”，这个点在我们一会要停止的位置附近，因此计算x+mu*v的梯度而不是旧位置x的梯度就有意义了。

如右图，既然我们知道动量将会把我们带到绿色箭头指向的店，我们就不要再远点（红色点）那里计算梯度了。


x_ahead = x + mu * v
# 计算dx_ahead(在x_ahead处的梯度，而不是在x处的梯度)
v = mu * v - learning_rate * dx_ahead
x += v

实际应用中，通过对x_ahead=x+mu*v使用变量变化进行改写，然后用x_ahead而不是x来表示上面的更新，也就是说实际存储的参数向量总是向前一步的那个版本，x_ahead（将其重新命名为x）的公式就变成了：


v_prev = v # 存储备份
v = mu * v - learning_rate * dx # 速度更新保持不变
x += -mu * v_prev + (1 + mu) * v # 位置更新变了形式

二、学习率退火

如果学习率过高，系统的动能就过大，参数向量就会无规律地跳动，不能够稳定到损失函数更深更窄的部分去。实现学习率退火有3种方式：

1.随步数衰减

典型的值是每过5个周期就将学习率减小一半，但这要依赖具体问题和模型的选择。有一种经验做法：使用一个固定的学习率来进行训练的同时观察验证集错误率，每当验证集错误率停止下降，就乘以一个常数（0.5）来降低学习率

2.指数衰减

$\alpha=\alpha_0e^{-kt}$ ，t是迭代次数

3.1/t衰减

$\alpha=\alpha_0/(1+kt)$

三、二阶方法

基于牛顿法，其迭代如下：

$\displaystyle x\leftarrow x-[Hf(x)]^{-1}\nabla f(x)$

Hf(x)是函数的二阶偏导数的平方矩阵，▽f(x)是梯度向量，直观理解Hf(x)描述了损失函数的局部曲率，从而使得可以进行更高效的参数更新。使得在曲率大的时候小步前进，曲率小的时候大步前进。但一个巨大难题在于要计算矩阵的逆，这是非常耗时的。这样，各种各样的拟-牛顿方法就被发明出来，最流行的是L-BFGS.

四、逐参数适应学习率方法

前面讨论都是对学习率进行全局地操作，并且对所有的参数都是一样的。有一些人发明了能够适应性对学习率调参的方法，甚至是逐个参数适应学习率调参。如下是一些常用的适应算法

1.Adagrad


cache += dx**2
x += - learning_rate * dx / (np.sqrt(cache) + eps)

接收到高梯度值的权重更新的效果被减弱，而接受到低梯度值的权重的更新效果将会增强

2.RMSprop

简单修改了Adagrad方法，让它不那么激进，总体来说，就是是使用了一个梯度平方的滑动平均：


cache =  decay_rate * cache + (1 - decay_rate) * dx**2
x += - learning_rate * dx / (np.sqrt(cache) + eps)

在上面的代码中，decay_rate是一个超参数，常用的值是[0.9,0.99,0.999]。其中x+=和Adagrad中是一样的，但是cache变量是不同的。因此，RMSProp仍然是基于梯度的大小来对每个权重的学习率进行修改，这同样效果不错。但是和Adagrad不同，其更新不会让学习率单调变小。

3.Adam

像是RMSprop的动量版


m = beta1*m + (1-beta1)*dx
v = beta2*v + (1-beta2)*(dx**2)
x += - learning_rate * m / (np.sqrt(v) + eps)

五、超参数调优

神经网络最常用的超参数有：

初始学习率
学习率衰减方式（例如一个衰减常量）
正则化强度（L2惩罚，随机失活强度）

在实践中，一个具体的设计使用仆程序持续地随机设置参数然后进行最优化。在训练过程中，仆程序会对每个周期后验证集的准确率进行监控，然后向文件系统写下一个模型的记录点(记录点中有各种各样的训练统计数据，比如随着时间的损失值变化等)，这样就能方便查找和排序了。然后还有一个主程序，它可以启动或者结束计算集群中的仆程序，有时候也可能根据条件查看仆程序写下的记录点，输出它们的训练统计数据等。

超参数范围

在对数尺度上进行超参数搜索。例如，一个典型的学习率应该看起来是这样：learning_rate=10** uniform(-6,1),因为学习率乘以了计算出的梯度，因此，比起加上或者减少某些值，思考学习率的范围是乘以或者除以某些值更加自然。但是有一些参数（比如随机失活概率）还是在原始尺度上进行搜索

随机搜索优于网络搜索

对于边界上的最优值要小心,这种情况一般发生在你在一个不好的范围内搜索超参数。比如，假设我们使用learning_rate=10** uniform(-6,1)来进行搜索。一旦我们得到一个比较好的值，一定要确认你的值不是出于这个范围的边界上。

从粗到细地分阶段搜索。在实践中，先进行初略范围搜索，然后根据好的结果出现的地方，缩小范围进行搜索。进行粗搜索的时候，让模型训练一个周期就可以了，小范围搜索时，可以让模型运行5个周期，而最后一个阶段就在最终的范围内进行仔细搜索，运行多次周期。

六、评价

模型集成

在实践的时候，有一个总是能提升神经网络几个百分点准确率的办法，就是在训练的时候训练几个独立的模型，然后在测试的时候平均它们预测结果。集成的模型数量增加，算法的结果也单调提升（但提升效果越来越少）。还有模型之间的差异度越大，提升效果可能越好。进行集成有以下几种方法：

同一个模型，不同的初始化：使用交叉验证来得到最好的超参数，然后用最好的参数来训练不同初始化条件的模型
在交叉验证中发现最好的模型：使用交叉验证来得到最好的超参数，然后取其中最好的几个（比如10个）模型来进行集成。这样就提高了集成的多样性，实际操作中，这样操作起来比较简单，在交叉验证后就不需要额外的训练
一个模型设置多个记录点：如果训练非常耗时，那就在不同的训练时间对网络留下记录点（比如每个周期结束），然后用它们来进行模型集成。很显然，这样做多样性不足，但是在实践中效果还是不错的，这种方法的优势是代价比较小
在训练的时候跑参数的平均值：这个方法就是在训练过程中，如果损失值相较于前一次权重出现指数下降时，就在内存中对网络的权重进行一次备份，这样你就对前几次循环中的网络状态进行了平均。你会发现这个“平滑”过的版本的权重总是能得到更少的误差。

【这两幅动图帮助你理解学习的动态过程】

七、总结

训练一个神经网络需要：

利用小批量数据对实现进行梯度检查，还要注意各种错误。
进行合理性检查，确认初始损失值是合理的，在小数据集上能得到100%的准确率。
在训练时，跟踪损失函数值，训练集和验证集准确率，如果愿意，还可以跟踪更新的参数量相对于总参数量的比例（一般在1e-3左右），然后如果是对于卷积神经网络，可以将第一层的权重可视化。
推荐的两个更新方法是SGD+Nesterov动量方法，或者Adam方法。
随着训练进行学习率衰减。比如，在固定多少个周期后让学习率减半，或者当验证集准确率下降的时候。
使用随机搜索（不要用网格搜索）来搜索最优的超参数。分阶段从粗（比较宽的超参数范围训练1-5个周期）到细（窄范围训练很多个周期）地来搜索。
进行模型集成来获得额外的性能提高。

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