数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）

插值

假设已知函数$y=f(x)$在$N+1$个点$x_1,x_2,\cdots,x_{N+1}$处的函数值$y_1,y_2,\cdots,y_{N+1}$，但函数的表达式$f(x)$未知，那么可以通过插值函数$p(x)$来逼近未知函数$f(x)$，并且$p(x)$必须满足

$$p(x_k)=y_k, k=1,2,\cdots,N+1. \tag 1$$

常见的插值函数的形式有多项式函数、样条函数。

• 多项式函数：令$p(x)$为$N$次多项式函数，于是$p(x)$有$N+1$个参数，而由公式(1)可知这$N+1$个参数满足$N+1$个约束条件，所以可以求出$p(x)$的表达式。

• 样条函数：我们知道$N$阶多项式函数必然有$N-1$个极值点，所以得到的插值函数摆动会比较大，这有点像机器学习中的过拟合现象，可以用样条函数来避免这个问题。这里的样条函数其实就是分段函数，表示在相邻点$x_k$和$x_{k+1}$之间用低阶多项式函数$S_k(x)$进行插值。分段线性插值和三次样条插值都属于样条插值。

TPS

本文介绍的TPS针对的是插值问题的一种特殊情况，并且TSP插值函数的形式也比较新颖。
考虑这样一个插值问题：自变量$\bf x$是2维空间中的一点，函数值$\bf y$也是2维空间中的一点，并且都在笛卡尔坐标系下表示。给定$N$个自变量${\bf x}_k$和对应的函数值${\bf y}_k$，求插值函数