梯度下降法的个人理解_为什么梯度下降需要添加x0

梯度下降法是机器学习中一种常见的优化方法。

其常用来类比一个人在山上快速下山的过程，即沿着山坡最陡的方向下坡可以快速抵达山下，给出的公式为：

这里η为学习率，是一个小于1的数，f'(x0)是x0的梯度。意思就是一直这样更新下去（更新x0），就会让函数值f(x0)最小，准确的讲是达到局部最小值。

需要注意的是，梯度下降法就是指明了如何更新自变量x的值使得函数值最小，但这个公式本身与未体现函数值f(x0)，而仅用到了f(x0)的梯度f'(x0)。

以下介绍推导过程。

公式推导用到了泰勒展开式，泰勒展开式如下：

 

 

泰勒展开的意义是用一系列多项式去逼近（近似表达）一个复杂函数。

如果只考虑1阶情况，那么有：

移项后得到：

 

梯度下降法的目标是让f(x)的值减小，即每次更新x则f(x)的值减小。假设x为更新后的值，x0为当前点，那么应该有f(x)- f(x0)<0

也就是等式右边的(x-x0)f'(x0)<0。此外，这里不光应当小于0，而且应该是一个最大的小于0的数，这样才能让f(x)以最快的速度减小。

注意，在机器学习中x一般是一个n维向量，f’(x0)也是一个向量，所以(x-x0)f'(x0)本质上是两个向量乘积，只有当两者反向时（-180°）才能最小。

所以：

 

这里等式右边的||f’(x0)||表示f’(x0)的模，ν是步长（每次走一小步），而f’(x0)/ ||f’(x0)||为梯度f’(x0)的方向向量

我们令νυ=η，则η为学习率，可见学习率为步长和梯度模分之一的乘积

整理以上式子得到：