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逻辑思维案例题(概率类)_一根长为10米的木棒。随机在中间选取一点,把这根木棒折断。那么,短的那一截木

作者：笔触狂放9 | 2024-02-28 23:56:03

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一根长为10米的木棒。随机在中间选取一点,把这根木棒折断。那么,短的那一截木

1. 不使用中间变量交换两个数值

假设: a=10, b=20

1.1 四则运算

1.1.1 加减法

适用于int与float，但在处理float时有可能出现精度损失。


a=a+b;
b=a-b;
a=a-b;

1.1.2 乘除法

适用于int与float，但在处理float时有可能出现精度损失，且b!=0。


a=a*b;
b=a/b;
a=a/b;

这两种方法都不会产生溢出。以加减法为例，第一步的加法运算可能会造成溢出，但其所造成的溢出会在后边的减运算中被溢出回来。

1.2 位异或运算

异或运算无法完成浮点型变量的交换，只适用于int。

^ 将十进制转化为二进制0和1，进行位操作。


int a=10,b=12; //a=1010^b=1100;
a=a^b; //a=0110^b=1100;
b=a^b; //a=0110^b=1010;
a=a^b; //a=1100=12;b=1010;

1.3 使用指针


int *pa=&a;
int *pb=&b;
a=pb;
b=pa;

2. 抛硬币问题

2.1 两人抛硬币

先抛出正面的人获胜，则第一个人A获胜的概率=2/3。

抛第一轮(两次): A胜=1/2，B胜=1/2 * 1/2 =1/4，无人获胜=1/2 * 1/2 =1/4。

A可能赢在第1，3，5，7，... 次，而且每次赢必然是前几次抛硬币结果都是反面，最后一次为正。

因为抛硬币为独立时事件，所以

$P(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{5}}+ ...=\sum_{n=0}^{\rightarrow }(\frac{1}{2})^{2n+1}=\sum_{n=1}^{\rightarrow }(\frac{1}{2})^{2n-1}=\frac{2}{3}$

等比数列求和：

$S_{n}=na_{1} (q=1)$

$S_{n}=a_{1}*\frac{1-q^{n}}{1-q} =\frac{a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q} (q!=1)$

或

$p_{1}+p_{2}=1$

$p_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}p_{2}$

只有第一个人没中的情况下，第二个人才抛硬币，所以A赢的概率是B的两倍。

2.2 K个人抛硬币

第一个人获胜的概率?

如果是3个人，则第一个人赢在第1，4，7，11，...次，则在级数中对应的项次由两个人时的2n+1变为3n+1（n从0开始），同理可得k个人时为kn+1。

这时获胜的概率为

$P(A)=\sum_{n=0}^{\rightarrow }(\frac{1}{2})^{kn+1}$

$=\frac{1}{2}*(\frac{1}{2^{k}})^{n}$

其中 $a_{1}=\frac{1}{2}, q=2^{k}$

$=\frac{1}{2}*\frac{1-2^{kn}}{1-2^{k}}$

$=lim_{n \to }\frac{1}{2}*\frac{1-2^{kn}}{1-(\frac{1}{2})^{k}}$

$=\frac{1}{2}*\frac{1}{1-(\frac{1}{2})^{k}}$

$=\frac{2^{k-1}}{2^{k}-1}$

当k=3时，P(A)=4/7

3. 掷骰子问题

3.1 两人掷骰子

先掷出6点的人获胜，则第一个人获胜的概率=6/11。

易知第一个人可能赢在第1，3，5，7，...，2n+1次。

$11$

$=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^{2n}$

$=\lim n_{\rightarrow }\frac{1}{6}*\frac{1-(\frac{5}{6})^{2n}}{1-(\frac{5}{6})^{2}}$

$=\frac{1}{6}*\frac{1}{1-\frac{25}{36}}$

$=\frac{6}{11}$

3.2 掷t面骰子

先掷出t点的人获胜，则第一个人获胜的概率=t/(2t-1)。

$P(A)=\frac{1}{t}+(\frac{t-1}{t})^{2}*\frac{1}{t}+ ...$

$=\sum_{n=0}^{\rightarrow }\frac{1}{t}*(\frac{t-1}{t})^{2n}$

$=\frac{1}{t}*\frac{1}{1-(\frac{t-1}{t})^{2}}$

$=\frac{t}{2t-1}$

3.3 K个人掷t面骰子

先掷出t点的人获胜，则第一个人获胜的概率？

$P(A)=\frac{1}{t}+(\frac{t-1}{t})^{k}*\frac{1}{t}+ ...$

$=\sum_{n=0}^{\rightarrow }\frac{1}{t}*(\frac{t-1}{t})^{kn}$

$=\frac{1}{t}*\frac{1}{1-(\frac{t-1}{t})^{k}}$

$=\frac{t^{k-1}}{t^{k}-(t-1)^{k}}$

4. 木棒问题

4.1 折为两段

随机在中间选一点，将木棒折断。

（1）短的那一截平均有多长？

若点取在(0,1/2)上，则短的那一截长度为x，若取在(1/2,1)上短的那一截长为1-x。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}xdx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(1-x)dx=\frac{1}{4}$

（2）长的那一截平均有多长？

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}(1-x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}xdx=\frac{3}{4}$

（3）短的一截与长的一截的长度之比的平均是多少？

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{1-x}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1-x}{x}dx =\int_{0}^{\frac{1}{2}}(-1+\frac{1}{1-x})dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(\frac{1}{x}-1)dx=2ln2-1$

4.2 折为三段

（1）把一根木棒分成三段，求能拼成一个三角形的概率？（1/4）
假设木棒长度为1，其中两段分别为x，y，则第三段为1-x-y。且

0<x<1，0<y<1，0<1-x-y<1；

=>

0<x<1，0<y<1，0<x+y<1；

若要使这三段能构成一个三角形（任意两边之和大于第三边）。得

x+y>1-x-y，x+1-x-y>y，y+1-x-y>x；

=>

0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1；

由线性规划得： P=s1/s2=(1/2 * 1/2 * 1/2)/(1/2 * 1 * 1)=1/4

(2)变形-- 在圆周上任取三点构成锐角三角形的概率？（1/4）

假设这三个点为A、B、C，当A、B、C同时位于一个半圆内时，三角形必然是直角三角形或钝角三角形，所以要组成锐角三角形，此三点必须不在同一个半圆内。

若为锐角三角形，则三个角必须小于90度。

假设圆半径为1，则周长为2pai。又知：90度角对应的弧为半圆，长为pai。

记弧AB=x，弧AC=y，弧BC=z；则有：

0<x<pai，0<y<pai，0<2pai-x-y<pai (pai<x+y<2pai)；

又因为

0<x<2pai，0<y<2pai，0<2pai-x-y<2pai (0<x+y<2pai)；

进而转化为折木棒问题进行求解。

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