【时间序列分析】13.ARMA(p,q)模型

十三、$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型

1.$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型与求解

先对$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型和$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$模型进行简单的回顾。$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型指的是$A(\mathcal{B})X_t={\epsilon }_t$，这里$A(z)=1-\sum _{j=1}^p{a}_j{z}^j$；$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$模型指的是$X_t=B(\mathcal{B}){\epsilon }_t$，这里$B(z)=1+\sum _{j=1}^q{b}_j{z}^j$。同时，要求$A(z),B(z)$在单位圆内都没有根，$A(z)$在单位圆上也没有根。现在，我们将两个模型进行结合，就得到$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型：

$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型：设 { ε t } ∼ W N ( 0 , σ 2 ) \{\varepsilon_t\}\sim {\rm WN}(0,\sigma^2) {εt​}∼WN(0,σ2)，实系数多项式$A(z),B(z)$没有公共根，且$a_p{b}_q\ne 0$，则称$A(\mathcal{B})X_t=B(\mathcal{B}){\epsilon }_t$是自回归滑动平均模型，简称为$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型，满足此模型的平稳序列被称为$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列。

观察$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型的定义，它更具有类似$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型的特点，只是将右边的白噪声换成了白噪声的有限滑动平均，即一个$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$序列，所以在对$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型进行研究时，会沿用$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型的思路。

同时，对特征多项式$A(z),B(z)$的要求，除了对$\mathrm{A}\mathrm{R}(p),\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$模型各自的要求即单位圆内（与圆上）没有零点外，还外加了一条：没有公共根。并且，单位圆内没有零点的约束，使得$A^{-1}(z)$在$[0,1]$上解析，于是类似$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型的求解，可以得到$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型的唯一平稳解：
$$X_t=A^{-1}(\mathcal{B})B(\mathcal{B}){\epsilon }_t=\Phi (\mathcal{B}){\epsilon }_t,\Phi (z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{z}^j.$$
这里${\psi }_j$是$\Phi (z)$的Taylor展开系数，也类似$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$序列称 { ψ t } \{\psi_t\} {ψt​}为 { X t } \{X_t\} {Xt​}的Wold系数。在$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$序列中，其Wold系数用Taylor展开计算很繁琐，我们使用递推计算，而在$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列中，对Wold系数也有递推公式。

$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列Wold系数的递推公式：定义$a_0=-1$，则$A(z)=-\sum _{j=0}^p{a}_j{z}^j$，有
$$\begin{gathered} A(\mathcal{B}){\psi }_j=b_j,j\ge 1; \\ {\psi }_0=1. \end{gathered}$$
即
ψ k = { 0 , k < 0 ; 1 , k = 0 ; b k + ∑ j = 1 p a j ψ k − j , k > 0. \psi_k=\left\{

$$\begin{array}l 0,&k<0; \\ 1,& k=0; \\ b_k+\sum\limits_{j=1}^p a_j\psi_{k-j},& k>0. \end{array}$$ \right. ψk​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​0,1,bk​+j=1∑p​aj​ψk−j​,​k<0;k=0;k>0.​

证明过程也和$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型的类似，因为$\Phi (z)=A^{-1}(z)B(z)$，所以$B(z)=A(z)\Phi (z)$，即
B ( z ) = A ( z ) Φ ( z ) = − ∑ k = 0 p a k z k ∑ j = 0 ∞ ψ j z j = − ∑ j = 0 ∞ ( ∑ k = 0 p a k ψ j − k ) z j = ∑ j = 0 q b j z j . − ∑ k = 0 p a k ψ j − k = b j , j ≥ 0.

$$\begin{aligned} B(z)=&A(z)\Phi(z)\\ =&-\sum_{k=0}^p a_kz^k\sum_{j=0}^\infty \psi_jz^j \\ =&-\sum_{j=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^p a_k\psi_{j-k} \right)z^j \\ =&\sum_{j=0}^q b_jz^j. \\ -\sum_{k=0}^pa_k\psi_{j-k} =& b_j,\quad j\ge0. \end{aligned}$$ B(z)====−k=0∑p​ak​ψj−k​=​A(z)Φ(z)−k=0∑p​ak​zkj=0∑∞​ψj​zj−j=0∑∞​(k=0∑p​ak​ψj−k​)zjj=0∑q​bj​zj.bj​,j≥0.​
在已知${\mathbf{a}}_p,{\mathbf{b}}_q$时，采用递推公式来计算 { ψ j } \{\psi_j\} {ψj​}是更为容易的。

如果$B(z)$在单位圆上也没有根，也就是对于可逆的$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列，可以得到${\epsilon }_t=B^{-1}(\mathcal{B})A(\mathcal{B})X_t$，此时$B^{-1}(z)A(z)$在$[0,1]$上解析，故可以Taylor展开，得到一个和式，这表明对于可逆的$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列，其原序列和噪声序列可以相互线性表示。

最后，根据常系数线性差分方程的求解，我们得到$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型的通解是
Y t = A − 1 ( B ) B ( B ) X t + ∑ j = 1 k ∑ l = 0 r ( j ) − 1 U j , l t l z j − t = ℜ A − 1 ( B ) B ( B ) X t + ∑ j = 1 k ∑ l = 0 r ( j ) − 1 V j , l t l ρ j − t cos ⁡ ( λ j t − θ j , l ) .

$$\begin{aligned} Y_t=&A^{-1}(\mathscr B)B(\mathscr B)X_t+\sum_{j=1}^k\sum_{l=0}^{r(j)-1}U_{j,l}t^{l}z_j^{-t} \\ \stackrel {\Re}=&A^{-1}(\mathscr B)B(\mathscr B)X_t+\sum_{j=1}^k\sum_{l=0}^{r(j)-1}V_{j,l}t^{l}\rho_j^{-t}\cos(\lambda_jt-\theta_{j,l}). \end{aligned}$$ Yt​==ℜ​A−1(B)B(B)Xt​+j=1∑k​l=0∑r(j)−1​Uj,l​tlzj−t​A−1(B)B(B)Xt​+j=1∑k​l=0∑r(j)−1​Vj,l​tlρj−t​cos(λj​t−θj,l​).​
这里$z_j$是$A(z)=0$的根，$r(j)$是$z_j$的重数。类似$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型，$Y_t$总是收敛于平稳解，因此我们一般会使用初值$0_p$来模拟产生$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列，模拟方式为
$$Y_t=\sum _{j=1}^p{a}_j{Y}_{t-j}+\sum _{j=0}^p{b}_j{\epsilon }_{t-j}.$$

2.$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的自协方差函数与谱密度

对于任何一个平稳序列，自协方差函数和谱密度都是不可绕过的话题，对于$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列一样如此。注意到$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列可以写成$X_t=\Phi (\mathcal{B}){\epsilon }_t$，所以它也是白噪声的无穷滑动和，与一般的无穷滑动和类似讨论即可。

自协方差函数为
$${\gamma }_k={\sigma }^2\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{\psi }_{j+k},k\ge 0.$$
由于 { ψ j } \{\psi_j\} {ψj​}是负指数阶收敛到0的，所以${\gamma }_k$也是负指数阶收敛到0的，具体证明方法见《八、$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$序列与其自协方差函数》。

谱密度为
$$f(\lambda )=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\gamma }_k{e}^{-\mathrm{i}k\lambda }=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }|\Phi (e^{\mathrm{i}\lambda }){|}^2=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }{\left|\frac{B(e^{\mathrm{i}\lambda })}{A(e^{\mathrm{i}\lambda })}\right|}^2.$$
这种形式的谱密度被称为有理谱密度。

3.可识别性

$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的可识别性，指的是$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的模型参数$({\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{b}}^{\prime },{\sigma }^2)$，可以被平稳解的自协方差函数唯一决定，这样我们就可以从观测样本估计模型原本的样子。那么，如何用历史样本获得序列的模型参数呢？我们先从${\mathbf{a}}^{\prime }$入手。

${\mathbf{a}}^{\prime }$是$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$部分的模型参数，所以计算方式也与$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$模型的类似，当时我们依照Y-W方程得到的结果：${\mathbf{a}}_p={\Gamma }_p^{-1}{\mathbf{\gamma }}_p$得到自回归系数的估计值，此时也要类似地推导属于$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的Y-W方程。
γ k = E ( X t X t − k ) = E [ ( ∑ j = 1 p a j X t − j + ∑ j = 0 q b j ε t − j ) X t − k ] = ∑ j = 1 p a j γ k − j + ∑ j = 0 q b j ε t − j ( ∑ l = 0 ∞ ψ l ε t − l − k ) = ∑ j = 1 p a j γ k − j + σ 2 ∑ j = 0 q b j ψ j − k , ⇓ γ k − ∑ j = 1 p a j γ k − j = A ( B ) γ k = { σ 2 ∑ j = 0 q b j ψ j − k , k < q ; σ 2 b q , k = q ; 0 , k > q .

$$\begin{aligned} \gamma_k=&{\rm E}(X_tX_{t-k}) \\ =& {\rm E}\left[\left(\sum_{j=1}^pa_jX_{t-j}+\sum_{j=0}^qb_j\varepsilon_{t-j} \right)X_{t-k} \right] \\ =&\sum_{j=1}^p a_j\gamma_{k-j} + \sum_{j=0}^q b_j\varepsilon_{t-j}\left(\sum_{l=0}^\infty \psi_l\varepsilon_{t-l-k} \right) \\ =&\sum_{j=1}^pa_j\gamma_{k-j}+\sigma^2\sum_{j=0}^qb_j\psi_{j-k}, \\ \Downarrow \\ \gamma_k-\sum_{j=1}^pa_j\gamma_{k-j}=&A(\mathscr B)\gamma_k= \left\{ \begin{array}l \sigma^2\sum_{j=0}^q b_j\psi_{j-k},&k<q;\\ \sigma^2b_q,&k=q;\\ 0,&k > q. \end{array} \right. \end{aligned}$$ γk​====⇓γk​−j=1∑p​aj​γk−j​=​E(Xt​Xt−k​)E[(j=1∑p​aj​Xt−j​+j=0∑q​bj​εt−j​)Xt−k​]j=1∑p​aj​γk−j​+j=0∑q​bj​εt−j​(l=0∑∞​ψl​εt−l−k​)j=1∑p​aj​γk−j​+σ2j=0∑q​bj​ψj−k​,A(B)γk​=⎩⎨⎧​σ2∑j=0q​bj​ψj−k​,σ2bq​,0,​k<q;k=q;k>q.​​

所以对$k>q$，有$A(\mathcal{B}){\gamma }_k=0$，所以类似建立Y-W方程，但此时自协方差函数要从$q+1$项开始，不妨取连续$p$个，这样就使得系数矩阵是一个方阵，即
[ γ q + 1 γ q + 2 ⋮ γ q + p ] = [ γ q γ q − 1 ⋯ γ q − p + 1 γ q + 1 γ q ⋯ γ q − p + 2 ⋮ ⋮ ⋮ γ q + p − 1 γ q + p − 2 ⋯ γ q ] [ a 1 a 2 ⋮ a p . ]

$$\begin{bmatrix} \gamma_{q+1} \\ \gamma_{q+2} \\ \vdots \\ \gamma_{q+p} \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} \gamma_q & \gamma_{q-1} & \cdots & \gamma_{q-p+1} \\ \gamma_{q+1} & \gamma_q & \cdots & \gamma_{q-p+2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \gamma_{q+p-1} & \gamma_{q+p-2} & \cdots & \gamma_q \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_p. \end{bmatrix}$$ ⎣⎢⎢⎢⎡​γq+1​γq+2​⋮γq+p​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​γq​γq+1​⋮γq+p−1​​γq−1​γq​⋮γq+p−2​​⋯⋯⋯​γq−p+1​γq−p+2​⋮γq​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​a1​a2​⋮ap​.​⎦⎥⎥⎥⎤​
记中间这个系数方阵为${\Gamma }_{p,q}$，其中$p$表示它的阶数，$q$表示主对角线上的元素。如果${\Gamma }_{p,q}$可逆，则${\mathbf{a}}^{\prime }$就可以直接解出来，事实上${\Gamma }_{p,q}$也确实是可逆的，定理与证明如下，中间会用到一个引理（双重引用）。

定理：设 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​}为$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列 { X t } \{X_t\} {Xt​}的自协方差函数列，则$m\ge p$时，${\Gamma }_{m,q}$可逆，这里
Γ m , q = [ γ q γ q − 1 ⋯ γ q − m + 1 γ q + 1 γ q ⋯ γ q − m + 2 ⋮ ⋮ ⋮ γ q + m − 1 γ q + m − 2 ⋯ γ q ] m × m . \Gamma_{m,q}=

$$\begin{bmatrix} \gamma_q & \gamma_{q-1} & \cdots & \gamma_{q-m+1} \\ \gamma_{q+1} & \gamma_{q} & \cdots & \gamma_{q-m+2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \gamma_{q+m-1} & \gamma_{q+m-2} & \cdots & \gamma_q \end{bmatrix}$$ _{m\times m}. Γm,q​=⎣⎢⎢⎢⎡​γq​γq+1​⋮γq+m−1​​γq−1​γq​⋮γq+m−2​​⋯⋯⋯​γq−m+1​γq−m+2​⋮γq​​⎦⎥⎥⎥⎤​m×m​.
证明：如果${\Gamma }_{m,q}$不可逆，则$\det ({\Gamma }_{m,q})=0$，也就是列向量组线性相关，存在一个非零向量$\mathbf{\beta }=({\beta }_0,\cdots ,{\beta }_{m-1}{)}^{\prime }$，使得${\Gamma }_{m,q}\mathbf{\beta }=0$，也就是
$$\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{\gamma }_{q+k-l}=0,k=0,1,2,\cdots ,m-1$$
对下一项，有
$$\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{\gamma }_{q+m-l}=\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l\sum _{k=1}^p{a}_k{\gamma }_{q+m-l-k}=\sum _{k=1}^p{a}_k\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{\gamma }_{q+m-l-k}=0,$$
这是因为此时$m-k=0,1,2,\cdots ,m-1$。以此一直往上类推，就得到
$$\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{\gamma }_{q+k-l}=0,k\ge 0.$$
即把列向量加长到无限维度，仍然是线性相关的。

引理：如果 { X t } \{X_t\} {Xt​}是$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型的平稳解，如果有又有白噪声 { η t } \{\eta_t\} {ηt​}和实系数多项式$C(\mathcal{B}),D(\mathcal{B})$使得$C(\mathcal{B})X_t=D(\mathcal{B}){\eta }_t$，则必有$C(z)$的阶数$\ge p$，$D(z)$的阶数$\ge q$。

现在令
$$Y_t=\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{X}_{t-l},$$
则 { Y t } \{Y_t\} {Yt​}是零均值平稳序列，有
$$\mathrm{E}(Y_t{X}_{t-q-k})=\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{\gamma }_{q+k-l}=0,k\ge 0,$$
所以$\mathrm{E}(Y_t{Y}_{t-q-k})=0$，这是因为$Y_t$由$X_t$以及$t$以前的$X$构成。于是${\gamma }_y(k)$是$(q-1)$后截尾的，也就是说$Y_t$是一个$\mathrm{M}\mathrm{A}(q-1)$序列，存在一个白噪声序列 { η t } \{\eta_t\} {ηt​}，使得
$$Y_t=\sum _{l=0}^{m-1}{\beta }_l{X}_{t-l}=\sum _{j=0}^{q-1}{\alpha }_j{\eta }_{t-j}.$$
这与引理矛盾，因为右侧多项式是$q-1$阶的，所以命题$\det ({\Gamma }_{m,q})=0$不成立，也就说明了${\Gamma }_{m,q}$是可逆的。

这里证明了${\Gamma }_{p,q}$可逆，也就是可以解出${\mathbf{a}}^{\prime }$如下，$A(z)$也随之确定。
a ′ = Γ p , q − 1 [ γ q + 1 γ q + 2 ⋮ γ q + p ] . \boldsymbol a'=\Gamma_{p,q}^{-1}

$$\begin{bmatrix} \gamma_{q+1} \\ \gamma_{q+2} \\ \vdots \\ \gamma_{q+p} \end{bmatrix}$$ . a′=Γp,q−1​⎣⎢⎢⎢⎡​γq+1​γq+2​⋮γq+p​​⎦⎥⎥⎥⎤​.
这样，模型可以简化为$A(\mathcal{B})X_t=B(\mathcal{B}){\epsilon }_t$，在左侧已知的情况下，我们定义$Y_t=A(\mathcal{B})X_t$，则$Y_t$是一个$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$序列，可以通过求出$Y_t$的自协方差函数列${\gamma }_Y(k)$，根据我们之前讨论过的方法（见《十二、$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$模型》），可以解出模型参数${\mathbf{b}}^{\prime },{\sigma }^2$，为
$$\begin{gathered} {\Pi }_{q\times q}=\underset{k\to \infty }{\lim }{\Omega }_k{\Gamma }_k^{-1}{\Omega }_k^{\prime } \\ {\mathbf{b}}^{\prime }=\frac{1}{{\sigma }^2}({\mathbf{\gamma }}_q-A\Pi C),{\sigma }^2={\gamma }_0-C^{\prime }\Pi C. \end{gathered}$$
这里还有一个问题——计算${\gamma }_Y(k)$函数，它是一个$q$后截尾的序列。可以用以下的方式计算：
$$\begin{array}{rl}{\gamma }_Y(k)=& \mathrm{E}(Y_t{Y}_{t-k})\\ =& \sum _{j=0}^p\sum _{l=0}^p{a}_j{a}_l\mathrm{E}(X_{t-j}{X}_{t-k-l})\\ =& \sum _{j=0}^p\sum _{l=0}^p{a}_j{a}_l{\gamma }_{k+l-j}\\ =& {\mathbf{a}}^{\prime }\left[\begin{array}{cccc}{\gamma }_k& {\gamma }_{k+1}& \cdots & {\gamma }_{k+p}\\ {\gamma }_{k-1}& {\gamma }_k& \cdots & {\gamma }_{k+p-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\gamma }_{k-p}& {\gamma }_{k-p+1}& \cdots & {\gamma }_k\end{array}\right]\mathbf{a},|k|\le q.\end{array}$$
这样，我们就能通过$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$的观测序列，来估计出它的模型参数了。

当然，从实际生活中获得的平稳序列，我们并不能肯定它是$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列，所以需要一种辨别方式使得我们能够从平稳序列中辨认出$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列。接下来的定理给出了一种判别方式。

$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的辨别：设零均值平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt​}有自协方差函数 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​}，又设存在一个满足最小相位条件的$p$阶多项式$A(z)=1-{\sum }_{j=1}^p{a}_j{z}^j$使得
A ( B ) γ k = { c ≠ 0 , k = q ; 0 , k > q . A(\mathscr B)\gamma_k=\left\{

$$\begin{array}l c\ne 0,& k=q; \\ 0,& k>q. \end{array}$$ \right. A(B)γk​={c​=0,0,​k=q;k>q.​
则 { X t } \{X_t\} {Xt​}是一个$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p^{\prime },q^{\prime })$序列，$p^{\prime }\le p,q^{\prime }\le q$。

此时，只要构造出$\mathrm{A}\mathrm{R}(p)$部分即$Y_t=A(\mathcal{B})X_t$，并证明它是一个$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$序列，即自协方差函数$q$后截尾即可。因为
E ( Y t X t − k ) = E [ A ( B ) X t ] X t − k = A ( B ) γ k = { c ≠ 0 , k = q ; 0 , k > q . {\rm E}(Y_tX_{t-k})={\rm E}[A(\mathscr B)X_t]X_{t-k}=A(\mathscr B)\gamma_k=\left\{

$$\begin{array}l c\ne 0,& k=q; \\ 0,& k>q. \end{array}$$ \right. E(Yt​Xt−k​)=E[A(B)Xt​]Xt−k​=A(B)γk​={c​=0,0,​k=q;k>q.​
所以
$${\gamma }_y(k)=\mathrm{E}(Y_t{Y}_{t-k})=\mathrm{E}\left[Y_t\left(X_t-\sum _{j=1}^p{a}_j{X}_{t-k-j}\right)\right]=\{\begin{array}{lc}c\ne 0,& k=q;\\ 0,& k>q.\end{array}$$
这就说明了${\gamma }_y(k)$的$q$后截尾性，说明它是一个$\mathrm{M}\mathrm{A}(q)$序列，存在一个单位圆内没有根的$B(z)$使得$B(0)=b_0=1$，且$A(\mathcal{B})X_t=B(\mathcal{B}){\epsilon }_t$即可。但此时$A(z)$和$B(z)$可能有公共根，这样不妨设公因子为$C(z)$，这样就有$A(z)=C(z)A^{\prime }(z),B(z)=C(z)B^{\prime }(z)$，所以
$$C(\mathcal{B})A^{\prime }(\mathcal{B})X_t=C(\mathcal{B})B^{\prime }(\mathcal{B}){\epsilon }_t.$$
两边同时乘上$C^{-1}(\mathcal{B})$即可得到一个$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p^{\prime },q^{\prime })$模型。

但事实上，要构造出这样的$A(z)$也不是很容易，所以我们一般可以通过几个观测的自协方差函数，来构造一个$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型，只需要观测的自协方差函数数量为$p+q+1$即可。

回顾总结

1. $\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$模型指的是，对于满足最小相位条件的$A(z)=-\sum _{j=1}^p{a}_j{z}^j(a_0=-1)$与单位圆内无根的$B(z)=\sum _{j=1}^q{b}_j{z}^j(b_0=1)$，满足条件$a_p{b}_q\ne 0$，且$A(z),B(z)$无公共根时的
   $$A(\mathcal{B})X_t=B(\mathcal{B}){\epsilon }_t.$$
   其平稳解是唯一的，被称为$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列。

2. $\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列可以写成白噪声的无穷滑动和，即
   $$X_t=\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{\epsilon }_{t-j},$$
   这里 { ψ j } \{\psi_j\} {ψj​}是$\Phi (z)=A^{-1}(z)B(z)$的Taylor展开系数，被称为Wold系数，可以递推如下：
   $$A(\mathcal{B}){\psi }_j=b_j(j>0),{\psi }_0=1,{\psi }_j=0(j<0).$$

3. $\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列的自协方差函数以负指数阶收敛到0，是
   $${\gamma }_k={\sigma }^2\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{\psi }_{j+k},k\ge 0,$$
   谱密度是有理谱密度，为
   $$f(\lambda )=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{\gamma }_k{e}^{-\mathrm{i}k\lambda }=\frac{{\sigma }^2}{2\pi }{\left|\frac{B(e^{\mathrm{i}\lambda })}{A(e^{\mathrm{i}\lambda })}\right|}^2.$$

4. $\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p,q)$序列具有可识别性，在已知其自协方差函数的情况下，可以计算模型系数，有
   a ′ = Γ p , q − 1 [ γ q + 1 γ q + 2 ⋮ γ q + p , ] , γ y ( k ) = a ′ [ γ k γ k + 1 ⋯ γ k + p γ k − 1 γ k ⋯ γ k + p − 1 ⋮ ⋮ ⋮ γ k − p γ k − p + 1 ⋯ γ k ] , Π p × p = lim ⁡ k → ∞ Ω k Γ k − 1 Ω k ′ , b ′ = 1 σ 2 ( γ q − A Π C ) , σ 2 = γ 0 − C ′ Π C . \boldsymbol a'=\Gamma_{p,q}^{-1}

   $$\begin{bmatrix} \gamma_{q+1} \\ \gamma_{q+2} \\ \vdots \\ \gamma_{q+p}, \\ \end{bmatrix}$$ ,\quad \gamma_y(k)=\boldsymbol a' $$\begin{bmatrix} \gamma_k & \gamma_{k+1} & \cdots & \gamma_{k+p} \\ \gamma_{k-1} & \gamma_k & \cdots & \gamma_{k+p-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \gamma_{k-p} & \gamma_{k-p+1} & \cdots & \gamma_k \end{bmatrix}$$ , \\ \Pi_{p\times p}=\lim_{k\to \infty}\Omega_k\Gamma_{k}^{-1}\Omega_k',\quad \boldsymbol b'=\frac1{\sigma^2}(\boldsymbol \gamma_q-A\Pi C),\quad \sigma^2=\gamma_0-C'\Pi C. a′=Γp,q−1​⎣⎢⎢⎢⎡​γq+1​γq+2​⋮γq+p​,​⎦⎥⎥⎥⎤​,γy​(k)=a′⎣⎢⎢⎢⎡​γk​γk−1​⋮γk−p​​γk+1​γk​⋮γk−p+1​​⋯⋯⋯​γk+p​γk+p−1​⋮γk​​⎦⎥⎥⎥⎤​,Πp×p​=k→∞lim​Ωk​Γk−1​Ωk′​,b′=σ21​(γq​−AΠC),σ2=γ0​−C′ΠC.

5. 如果对于零均值平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt​}其自协方差函数为 { γ k } \{\gamma_k\} {γk​}，能够找到一个满足最小相位条件的多项式$A(z),A(0)=1$使得
   A ( B ) γ k = { c ≠ 0 , k = q ; 0 , k > q . A(\mathscr B)\gamma_k=\left\{

   $$\begin{array}l c\ne 0,& k=q; \\ 0,&k>q. \end{array}$$ \right. A(B)γk​={c​=0,0,​k=q;k>q.​
   则 { X t } \{X_t\} {Xt​}是一个$\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{A}(p^{\prime },q^{\prime })$序列，这里$p^{\prime }\le p,q^{\prime }\le q$。