吴恩达深度学习笔记——神经网络与深度学习（Neural Networks and Deep Learning）_吴恩达deeplearning 笔记

前言

本系列文章是吴恩达深度学习攻城狮系列课程的笔记，分为五部分。

这一部分讲了深度学习和神经网络的最基础的概念，这一章尤为重要，尤其是要理解神经网络的合理性，建立直觉。

我的笔记不同于一般的笔记，我的笔记更加凝练，除了结论以及公式，更多的是对知识的理解，结合课程可以加速理解，省去很多时间，但是请注意，笔记不能替代课程，应该结合使用。

传送门

结构化机器学习项目，我建议放在最后看。

首先学这一节对你后面的学习没有影响，我就是跳过去学的。而且他更多的讲的是策略，尤其是举了很多后面的例子，你听了不仅不太好懂，而且没啥意思，所以我建议放在最后看。

神经网络与深度学习（Neural Networks and Deep Learning）

改善深层神经网络：超参数调整，正则化，最优化（Hyperparameter Tuning）

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks)

序列模型与循环神经网络（Sequence Models）

结构化机器学习项目（Structuring Machine Learning Projects）

神经网络与深度学习（Neural Networks and Deep Learning）

绪论

梯度下降的公式为：
$$w=w-\alpha dw$$

这让我们想到牛顿法：
$$x=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$$

这两个有什么区别呢？思想都是迭代，但是实际完全不一样，最简单的场景：

我们从$x_0$开始跑，就会发现，最后gradient-descent会收敛到$x_g$但是牛顿法收敛到$x_n$

虽然方向都是导数负方向，但是步长是这两个方法的本质区别“”

1. gradient-descent的步长不由$\alpha$决定，而是由导数决定，导数越大，下降越快，什么时候不动了呢？就是$f^{\prime }(x)$为0的时候，也就是谷底。
2. 牛顿法的步长由$\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$决定，如果假设导数仅仅决定方向，那么$f(x)$越大，下降越快。什么时候不动了呢？就是$f(x)=0$，也就是零点。

梯度下降法与二分逻辑回归（Gradient Descend and Logistics Regression）

forward propagation

1. 样本：$X^{(i)}$是一个n维向量，总共给定m个样本
2. 样本矩阵：$[X^{(1)},\cdots ,X^{(m)}{]}_{n\times m}$
3. 参数: $w$ 是一个n维向量$ $b$是一个实数，我们的目标就是通过不断的迭代调整这两个参数
4. 实际值和预测值：
   实际值为$y$，仅有0,1两种
   预测值是一个概率，写作$a=\hat{y}=\sigma (z^{(i)})$
   $z^{(i)}=w^T{X}^{(i)}+b$，z只是一个最初的预测，是在R范围上的，要进行转化
   $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$,这个激活函数将R上的z变为0-1之间的数，可以理解为概率。
5. 损失函数：$L(a,y)=-(y\log (a)+(1-y)\log (1-a))$，代表单个样本的差距
6. 成本函数：$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum L(a^{(i)},y^{(i)})$，代表样本总体的平均差距

backward propagation(with Chain Rule)

使用计算图+链式法则求导，省略部分步骤，直接到关键步

1. $d{z}^{(i)}=a^{(i)}-y^{(i)}$，对每一个$x^{(i)}$，都有一个$d{z}^{(i)}$
2. $d{w}_i=\frac{1}{m}\sum x_i^{(i)}d{z}^{(i)}$，对每一个$w$,都是由m个$X^{(i)}$生成，其中$w$的每一个元，都是有m个$X^{(i)}$的对应元生成
3. $db=dz$ ，db由所有$d{z}^{(i)}$生成

vectorization

避免使用显式的for loop，而是改用numpy的向量和矩阵运算函数，其中内置了大量的加速算法，以及调用多线程，充分利用CPU以及GPU的计算资源，可以将性能提高百倍以上。

总体流程为fp：$w,b,X->Z,\sigma ->A$，bp：$A,Y->dZ,X->dw,db$，$将w和b$迭代然后不断循环，直至足够准确。

1. $将m个X样本写成一个矩阵为X，然后分块$ $[X^{(1)},\cdots ,X^{(m)}]$
2. $将m个y样本写成一个矩阵为$ $Y=[y^{(1)},\cdots ,y^{(m)}]$
3. $将z^{(i)}写成矩阵，为$ $Z=[z^{(1)},\cdots ,z^{(m)}]$
4. $则有$ $Z=w^{T}X+B=w^T[X^{(1)},\cdots ,X^{(m)}]$
   $=[w^T{X}^{(1)},\cdots ,w^T{X}^{(m)}]$,
   $这就是一个简单的分块矩阵然后w^T左乘$ $就是相当于对分块矩阵行进行作用$
5. $对Z矩阵进行\sigma 作用，转换成A矩阵$
6. $dZ=A-Y，很明显，两个行向量直接相减即可得出dZ$
7. $dw=\frac{1}{m}Xd{Z}^T$，这一步看着有点迷惑，但是确实有效，从效果上，可以理解为用每一个$z^{(i)}作用到一列X^{(i)}$上，然后通过矩阵积的性质实现累加，最后外面挂个求均值得出结果
8. $db=对dZ向量求均值$

损失函数和成本函数推导（Loss Function | Cost Function）

损失函数 $L(a,y)=-[y\log (a)+(1-y)\log (1-a)]$
成本函数

1. 损失函数

定义$a=P(y=1|X)$，即给定样本下得出y=1的概率。那么，反过来。$P(y=0|X)=1-a$，即，给定X得出y=0的概率为1-a

对于单个样本，即$X$，他的真实结果不是0，就是1，也就是说，是两点分布。那么我们可以写出$P(y|X)=a^y(1-a{)}^{1-y}$，这是个很经典的两点分布写法，分别取y=1和0，可以得出我们最开始的两种情况。

然后左右两边同取log（实际上是ln）,得$\log (P)=ya+(1-y)(1-a)$，因为我们用梯度下降，是要最小化，所以为了最大化概率P，我们要在损失函数前加负号，这样，当我们把损失函数最小化，那么里面的非负部分就是最大化的了，即P最大。

2. 成本函数

成本函数使用极大似然估计推导。

首先，假设m个样本都是独立同分布的，这个应该在找样本的时候就确保好，然后我们就可以用最大似然估计了。

$P(X|\theta )=\prod P(y^i|X^i)$，然后用最大似然估计的套路，左右取ln，得出$\log P(X|\theta )=-\sum L(a^i,y^i)$，为了使P最大，需要令$\sum L(a^i,y^i)$最小，出于某种原因，我们给他前面加了一个常数来进行一个缩放，最后就是$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum L(a^i,y^i)$

其实这个也可以直观理解。

让所有样本的平均损失最小，不就整体最优了嘛。

多层神经网络入门

一些符号的规定

1. 神经网络分层，用[] 作为上标来表明层数，输入层为0层，所以通常观念中，输入层不算做神经网络层中的一层。L为总层数。
2. $n_x=n^{[0]}$，为输入特征数，$,n^{[i]}$为每层的神经元个数，理论上这两个其实是一类东西，因为每一层经过神经元作用后，输到下一层的特征数就会变成n
3. 每一层的每一个节点都是神经元，每一个节点分为两部分，第一部分是使用$w作用$，第二部分是激活函数作用。一个神经元就相当于我们前面的logistic 回归，一层就是若干个logistic回归堆叠而成。
4. $W_{m\times n}^{[i]}=W_{n^{[i]}\times n^{[i-1]}}^{[i]}代表第i层的神经网络参数，是w的推广$，$可以看做是当前层所有节点的w^T\text{垂直}堆叠而成$,$所以W^{[i]}=[[w_1^{[i]T}],[w_2^{[i]T}],\cdots ,[w_m^{[i]T}]]$总共堆m行，m是本层神经元个数$=n^{[i]}$，每一行都是n维向量，n是上一层传过来特征的数量$=n^{[i-1]}$。
   所以可以看出来，水平遍历可以将单个神经元接收的所有特征遍历，垂直遍历可以将单个特征导向的所有神经元遍历。
5. $B^{[i]}代表第i层的神经网络参数，是b的推广，$$可以看做是当前层所有节点的b堆叠而成，同样是\text{垂直}堆叠$
6. $Z^{[i]}是z^T的水平堆叠$
7. $A^{[i]}是a^T的水平堆叠，是Z^{[i]}被g作用后的矩阵$,$A_{n_x\times m}^{[0]}=X$,$A^{[L]}={\hat{Y}}_{1\times m}$
8. $g^{[i]}$代表当前层的激活函数

神经网络的向量化fp

设X=A^{{[0]},\hat{Y}=A}{[L]}，则逐层计算，这个for loop现在没有办法避免:

for i = 1 to L:

$$Z^{[i]}=W^{[i]}{A}^{[i-1]}+B^{[i]}$$
$$A^{[i]}=g(Z^{[i]})$$

这个式子可以分块理解，还原他们堆叠之前的状态，然后这个分块列向量乘以分块行向量再加B向量（广播后实际为矩阵），出来一个矩阵，这个矩阵每行对应于单节点的logistic regression，然后垂直堆叠起来一层的结果。

我们换个角度理解这个产生的矩阵，经过sigmoid函数作用后生成的A矩阵，如果从列来看，实际上每一列都相当于一个样本$X^{(i)}$经过一层神经网络后产生的新样本，只不过该样本的维数（长度）变成了当前层神经元的个数，但是很明显，样本数量没有变化。

也就是说:

节点数$n^{[i]}$=参数矩阵$W^{[i]}$的高度=样本矩阵$A^{[i]}$的高度.

以上随着神经网络的层而变化。

但是：

$A^{[i]}矩阵的宽度\equiv 初始样本数$

以上不随层而变化。

我们从更高层的角度去理解W和Z，B的形状：

B和W是按照神经元垂直堆叠的，所以这两个的$高度\equiv 当前层神经元个数$

然后因为激活函数不改变形状，所以实际上结果$A\sim Z\sim WWW\cdots X$，因为最右矩阵是X，所以A，Z矩阵的宽度恒定为m

至于W的宽度，这个根据上一层的n定。

最后，不管你有多少层，最终还是输出了一个$A_{m\times 1}$，因此，Lost和Cost的计算方法完全相同。

神经网络的向量化bp

d Z n [ i ] × m [ i ] = { A [ i ] − Y , i = L d A [ i ] ∗ g [ i ] ′ ( Z [ i ] ) , i ≠ L , ∗ 为 e l e m e n t − w i s e 逐元素相乘 dZ^{[i]}_{n^{[i]}\times m}=

$$\begin{cases} A^{[i]}-Y, & i=L \\ dA^{[i]}*g^{[i]\prime}(Z^{[i]}), & i\neq L,*为element-wise逐元素相乘 \end{cases}$$ dZn[i]×m[i]​={A[i]−Y,dA[i]∗g[i]′(Z[i]),​i=Li=L,∗为element−wise逐元素相乘​
其中,dA的计算是反向递归的，要给一个递归初始值

d A [ i − 1 ] = { [ − y ( 1 ) a ( 1 ) + 1 − y ( 1 ) 1 − a ( 1 ) , ⋯   , − y ( m ) a ( m ) + 1 − y ( m ) 1 − a ( m ) ] 1 × m , i = L W [ i ] T d Z [ i ] , i ≠ L dA^{[i-1]}=

$$\begin{cases} [-\dfrac{y^{(1)}}{a^{(1)}}+\dfrac{1-y^{(1)}}{1-a^{(1)}},\cdots,-\dfrac{y^{(m)}}{a^{(m)}}+\dfrac{1-y^{(m)}}{1-a^{(m)}}]_{1\times m},& i=L \\ W^{[i]T}dZ^{[i]},& i\neq L \\ \end{cases}$$ dA[i−1]=⎩ ⎨ ⎧​[−a(1)y(1)​+1−a(1)1−y(1)​,⋯,−a(m)y(m)​+1−a(m)1−y(m)​]1×m​,W[i]TdZ[i],​i=Li=L​

第一个式子可以迁移，第二个式子直观理解只能通过维数来理解他的合理性。

2. $$d{W}_{n^{[i]}\times n^{[i-1]}}^{[i]}=\frac{1}{m}d{Z}^{[i]}{A}^{[i-1]T}$$
   这个可以迁移理解，在Logistic Regression里，$dw=\frac{1}{m}Xd{Z}^T$，而我们这里的W矩阵是若干个$w^T$纵向堆叠而成，所以我们要做一个转置。

3. $$d{B}_{n^{[i]}\times 1}^{[i]}=\frac{1}{m}np.sum(d{Z}^{[i]},axis=1,keepdims=True).reshape(n^{[i]},1)$$
   这个如此理解，对每一个节点，我们都要对所有样本进行均值，所以进行横向求均值，形成若干个b堆叠而成的向量，最后一层的B就是一个实数。

写到这里，我不由得感叹矩阵的强大，真tm哪个小天才能想出这种玩意，能让公式随着维数的增加而保持形式稳定，太离谱了!

神经网络函数块

其实可以看出来，除了最后一层有点特殊以外，每一层的处理方式都是相同的，那可不可以编写一个函数去一次性处理一层的任务呢？

可以，以下是流程图：

fp块

Input: $A^{[i-1]}$

Process:

$Z^{[i]}=np.dot(W^{[i]},A^{[i-1]})+B^{[i]}$

$A^{[i]}=g^{[i]}(Z^{[i]})$

Cache: $Z^{[i]}$

Output: $A^{[i]}$

bp块

Input: $d{A}^{[i]}$

Process:

$d{Z}^{[i]}=d{A}^{[i]}\ast g^{[i]\prime }(Z^{[i]})$

$d{W}^{[i]}=\frac{1}{m}np.dot(d{Z}^{[i]},A^{[i-1]T})$

$d{B}^{[i]}=\frac{1}{m}np.sum(d{Z}^{[i]},axis=1,keepdims=True)$

$d{A}^{[i-1]}=np.dot(W^{[i]T},d{Z}^{[i]})$

Output: $d{A}^{[i-1]},d{W}^{[i]},d{B}^{[i]}$

一轮迭代的处理流程

1. 赋值$A^{[0]}=X$

2. 不断调用fp函数，生成A和Z

3. 赋值$d{A}^{[L]}=[-\frac{y^{(1)}}{a^{(1)}}+\frac{1-y^{(1)}}{1-a^{(1)}},\cdots ,-\frac{y^{(m)}}{a^{(m)}}+\frac{1-y^{(m)}}{1-a^{(m)}}{]}_{1\times m}$

4. 反向调用bp函数，生成dA，dW，dB，更新W，B矩阵

激活函数

可选项

1. sigmoid/tanh
   $\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$，隐藏层常用,因为有期望为0的特征，往往表现比sigmoid函数好，而sigmoid常用于输出层的激活。同时，tanh也有缺陷，就是在|z|很大的时候，梯度几乎为0，会拖慢迭代速度。
2. ReLU/Leaky ReLU (Rectified Linear Unit)
   $a=max(0,z)$,线性修正单元出现了，这个是隐藏层激活函数的默认选项。 因为其梯度的稳定性，用其实现的神经网络迭代速度很快。
   $a=max(0.01z,z),$Leaky ReLU的出现是用来修正ReLU在负数情况下梯度为0的情况的。但是实际上因为神经元多以及初始样本的输入，出现z小于0的情况很少
3. 为什么要使用非线性激活函数
   如果全都是线性的，那么最后的计算结果也不过是一种线性组合，化简后就会发现，无论多少层网络，最终效果就和一层网络相同。
   如果要用，就是输出层或者是用于特殊用途的隐藏层。

导数计算(prime)

1. sigmoid
   $g^{\prime }(z)=a(1-a)$
2. tanh
   $g^{\prime }(z)=1-a^2$
   直观理解，如果|z|足够大，$(tanh(z){)}^2$趋近1，也就是导数趋近0
3. ReLU
   $$g^{\prime }(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z\le 0\\ 1,& z>0\end{array}$$
4. Leaky ReLU
   $$g^{\prime }(z)=\{\begin{array}{ll}0.01,& z\le 0\\ 1,& z>0\end{array}$$

随机初始化

1. $W=np.random.randn((n^{[i]},n^{[i-1]}))\ast 0.01$

首先，W不能对称，即W的行不能相同。如果有相同，那这两个神经元就造成了浪费，如果完全对称，那么每层神经元就相当于一个神经元

然后，乘一个系数调整使得权重足够小，防止Z矩阵元素过大导致sigmoid或者tanh函数饱和，从而拖慢学习速度。

2. $B=np.zero((n^{[i]},1))$

B其实随便，因为W已经随机了

深层网络的合理性

首先，从图像识别来看，神经网络就相当于从细微的特征入手，然后逐层组装，最后合成一个目标特征。

然后，深层神经网络可以在计算复杂问题的时候有效降低神经元规模，用深度换取空间复杂度。这个起源于电路理论。

emm，我其实也不太理解，看了几个小文章，大概理解了：逐层抽象提取分类，可以让简单的特征被下一层复用，有一种类似于通过动态规划来降低递归的重复计算的作用。暂时这么理解吧。