Apriori 算法原理与Python实现_所以 该算法需要一个函数createc1

1 Apriori算法简介

Apriori算法是经典的挖掘频繁项集和关联规则的数据挖掘算法。A priori在拉丁语中指"来自以前"。当定义问题时，通常会使用先验知识或者假设，这被称作"一个先验"（a priori）。Apriori算法的名字正是基于这样的事实：算法使用频繁项集性质的先验性质，即频繁项集的所有非空子集也一定是频繁的。Apriori算法使用一种称为逐层搜索的迭代方法，其中k项集用于探索(k+1)项集。首先，通过扫描数据库，累计每个项的计数，并收集满足最小支持度的项，找出频繁1项集的集合。该集合记为L1。然后，使用L1找出频繁2项集的集合L2，使用L2找出L3，如此下去，直到不能再找到频繁k项集。每找出一个Lk需要一次数据库的完整扫描。Apriori算法使用频繁项集的先验性质来压缩搜索空间。

2 基本概念

• 项与项集：设itemset={item1, item_2, …, item_m}是所有项的集合，其中，item_k(k=1,2,…,m)成为项。项的集合称为项集（itemset），包含k个项的项集称为k项集(k-itemset)。

• 事务与事务集：一个事务T是一个项集，它是itemset的一个子集，每个事务均与一个唯一标识符Tid相联系。不同的事务一起组成了事务集D，它构成了关联规则发现的事务数据库。

• 关联规则：关联规则是形如A=>B的蕴涵式，其中A、B均为itemset的子集且均不为空集，而A交B为空。

• 支持度(support)：关联规则的支持度定义如下：

其中表示事务包含集合A和B的并（即包含A和B中的每个项）的概率。注意与P(A or B)区别，后者表示事务包含A或B的概率。

• 置信度(confidence)：关联规则的置信度定义如下：

• 项集的出现频度(support count)：包含项集的事务数，简称为项集的频度、支持度计数或计数。

• 频繁项集(frequent itemset)：如果项集I的相对支持度满足事先定义好的最小支持度阈值（即I的出现频度大于相应的最小出现频度（支持度计数）阈值），则I是频繁项集。

• 强关联规则：满足最小支持度和最小置信度的关联规则，即待挖掘的关联规则。

3 实现步骤

一般而言，关联规则的挖掘是一个两步的过程：

1. 找出所有的频繁项集
2. 由频繁项集产生强关联规则

3.1 挖掘频繁项集

3.1.1 相关定义

• 连接步骤：频繁(k-1)项集Lk-1的自身连接产生候选k项集Ck

Apriori算法假定项集中的项按照字典序排序。如果Lk-1中某两个的元素（项集）itemset1和itemset2的前(k-2)个项是相同的，则称itemset1和itemset2是可连接的。所以itemset1与itemset2连接产生的结果项集是{itemset1[1], itemset1[2], …, itemset1[k-1], itemset2[k-1]}。连接步骤包含在下文代码中的create_Ck函数中。

• 剪枝策略

由于存在先验性质：任何非频繁的(k-1)项集都不是频繁k项集的子集。因此，如果一个候选k项集Ck的(k-1)项子集不在Lk-1中，则该候选也不可能是频繁的，从而可以从Ck中删除，获得压缩后的Ck。下文代码中的is_apriori函数用于判断是否满足先验性质，create_Ck函数中包含剪枝步骤，即若不满足先验性质，剪枝。

• 删除策略

基于压缩后的Ck，扫描所有事务，对Ck中的每个项进行计数，然后删除不满足最小支持度的项，从而获得频繁k项集。删除策略包含在下文代码中的generate_Lk_by_Ck函数中。

3.1.2 步骤

1. 每个项都是候选1项集的集合C1的成员。算法扫描所有的事务，获得每个项，生成C1（见下文代码中的create_C1函数）。然后对每个项进行计数。然后根据最小支持度从C1中删除不满足的项，从而获得频繁1项集L1。

2. 对L1的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选2项集的集合C2，然后，扫描所有事务，对C2中每个项进行计数。同样的，根据最小支持度从C2中删除不满足的项，从而获得频繁2项集L2。

3. 对L2的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选3项集的集合C3，然后，扫描所有事务，对C3每个项进行计数。同样的，根据最小支持度从C3中删除不满足的项，从而获得频繁3项集L3。

4. 以此类推，对Lk-1的自身连接生成的集合执行剪枝策略产生候选k项集Ck，然后，扫描所有事务，对Ck中的每个项进行计数。然后根据最小支持度从Ck中删除不满足的项，从而获得频繁k项集。

3.2 由频繁项集产生关联规则

一旦找出了频繁项集，就可以直接由它们产生强关联规则。产生步骤如下：

• 对于每个频繁项集itemset，产生itemset的所有非空子集（这些非空子集一定是频繁项集）；

• 对于itemset的每个非空子集s，如果，则输出, 其中min_conf是最小置信度阈值。

4 样例以及Python实现代码

下图是《数据挖掘：概念与技术》（第三版）中挖掘频繁项集的样例图解。

本文基于该样例的数据编写Python代码实现Apriori算法。代码需要注意如下两点：

• 由于Apriori算法假定项集中的项是按字典序排序的，而集合本身是无序的，所以我们在必要时需要进行set和list的转换；
• 由于要使用字典（support_data）记录项集的支持度，需要用项集作为key，而可变集合无法作为字典的key，因此在合适时机应将项集转为固定集合frozenset。

def load_data_set():
    """
    Load a sample data set (From Data Mining: Concepts and Techniques, 3th Edition)
    Returns: 
        A data set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
    """
    data_set = [
        ['l1', 'l2', 'l5'],
        ['l2', 'l4'],
        ['l2', 'l3'],
        ['l1', 'l2', 'l4'],
        ['l1', 'l3'],
        ['l2', 'l3'],
        ['l1', 'l3'],
        ['l1', 'l2', 'l3', 'l5'],
        ['l1', 'l2', 'l3']
    ]
 
    return data_set
 
 
def create_C1(data_set):
    """
    Create frequent candidate 1-itemset C1 by scaning data set.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
    Returns:
        C1: A set which contains all frequent candidate 1-itemsets
    """
    C1 = set()
    for t in data_set:
        for item in t:
            # frozenset 返回一个冻结的集合，冻结后集合不能再添加或删除任何元素。
            item_set = frozenset([item])
            C1.add(item_set)
    return C1
 
 
def is_apriori(Ck_item, Lksub1):
    """
    判断频繁的候选集k-itemset是否满足Apriori属性。
    Judge whether a frequent candidate k-itemset satisfy Apriori property.
    Args:
        Ck_item: a frequent candidate k-itemset in Ck which contains all frequent
                 candidate k-itemsets.
        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.
    Returns:
        True: satisfying Apriori property.
        False: Not satisfying Apriori property.
    """
    # print("Ck_item, Lksub1", Ck_item, Lksub1)
    for item in Ck_item:
        sub_Ck = Ck_item - frozenset([item])
        if sub_Ck not in Lksub1:
            return False
    return True
 
 
def create_Ck(Lksub1, k):
    """
    Create Ck, a set which contains all all frequent candidate k-itemsets
    by Lk-1's own connection operation.
    Args:
        Lksub1: Lk-1, a set which contains all frequent candidate (k-1)-itemsets.
        k: the item number of a frequent itemset.
    Return:
        Ck: a set which contains all all frequent candidate k-itemsets.
    """
    Ck = set()
    len_Lksub1 = len(Lksub1)
    list_Lksub1 = list(Lksub1)
    for i in range(len_Lksub1):
        # 优化
        for j in range(i + 1, len_Lksub1):
            l1 = list(list_Lksub1[i])
            l2 = list(list_Lksub1[j])
            l1.sort()
            l2.sort()
            # 优化，[1,5,6] [1,6,7] 必定有[1,5,7], 如果没有, [1,5,6,7] 不能存在
            if l1[:k - 2] == l2[:k - 2]:
            # if l1[:-2] == l2[:-2]:  # 等同于  l1[:k - 2] == l2[:k - 2]
            # if len(set(l1 + l2)) == len(l1) +1:  # 优化前，需要去重
                # |:并集, &：交集
                Ck_item = list_Lksub1[i] | list_Lksub1[j]
                # print("Ck_item", Ck_item)
                # 判断 Ck_item 中的每个元素是否在 Lksub1 数据集中
                if is_apriori(Ck_item, Lksub1):
                    Ck.add(Ck_item)
    return Ck
 
 
def generate_Lk_by_Ck(data_set, Ck, min_support, support_data):
    """
    Generate Lk by executing a delete policy from Ck.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
        Ck: A set which contains all all frequent candidate k-itemsets.
        min_support: The minimum support.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
    Returns:
        Lk: A set which contains all all frequent k-itemsets.
    """
    Lk = set()
    item_count = {}
    for t in data_set:
        for item in Ck:
            # 判断集合 item 的所有元素是否都包含在集合 t 中
            if item.issubset(t):
                if item not in item_count:
                    item_count[item] = 1
                else:
                    item_count[item] += 1
    t_num = float(len(data_set))
    for item in item_count:
        if (item_count[item] / t_num) >= min_support:
            Lk.add(item)
            support_data[item] = item_count[item] / t_num
    return Lk
 
 
def generate_L(data_set, k, min_support):
    """
    生成所有频繁项集，最大项数为 k, 最小支持度为 min_support
    Generate all frequent itemsets.
    Args:
        data_set: A list of transactions. Each transaction contains several items.
        k: Maximum number of items for all frequent itemsets.
        min_support: The minimum support.
    Returns:
        L: The list of Lk.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
    """
    support_data = {}
    # 获取初始项集（k=1）
    C1 = create_C1(data_set)
    # 获取支持度大于 min_support 的数据项
    L1 = generate_Lk_by_Ck(data_set, C1, min_support, support_data)
 
    Lksub1 = L1.copy()
    L = []
    L.append(Lksub1)
    for i in range(2, k + 1):
        Ci = create_Ck(Lksub1, i)
        Li = generate_Lk_by_Ck(data_set, Ci, min_support, support_data)
        # 注意不能直接把 Li 添加到 L 中
        Lksub1 = Li.copy()
        L.append(Lksub1)
    return L, support_data
 
 
def generate_big_rules(L, support_data, min_conf):
    """
    Generate big rules from frequent itemsets.
    Args:
        L: The list of Lk.
        support_data: A dictionary. The key is frequent itemset and the value is support.
        min_conf: Minimal confidence.
    Returns:
        big_rule_list: A list which contains all big rules. Each big rule is represented
                       as a 3-tuple.
    """
    big_rule_list = []
    sub_set_list = []
    # 循环频繁项数据集 集合列表
    for i in range(0, len(L)):
        #
        for freq_set in L[i]:
            for sub_set in sub_set_list:
                if sub_set.issubset(freq_set):
                    conf = support_data[freq_set] / support_data[freq_set - sub_set]
                    big_rule = (freq_set - sub_set, sub_set, conf)
                    if conf >= min_conf and big_rule not in big_rule_list:
                        # # print(freq_set-sub_set, " => ", sub_set, "conf: ", conf
                        big_rule_list.append(big_rule)
            sub_set_list.append(freq_set)
    return big_rule_list
 
 
if __name__ == "__main__":
    """
    Test
    """
    # 加载数据集
    data_set = load_data_set()
    # 获取最大项为3，最小支持度为0.2的频繁项集
    L, support_data = generate_L(data_set, k=3, min_support=0.2)
    print(L)
    print(support_data)
    # 获取最小置信度为 0.7 的数据
    big_rules_list = generate_big_rules(L, support_data, min_conf=0.7)
    print(big_rules_list)
 
    for Lk in L:
        print("=" * 50)
        print("frequent " + str(len(list(Lk)[0])) + "-itemsets\t\tsupport")
        print("=" * 50)
        for freq_set in Lk:
            print(freq_set, support_data[freq_set])
    print("\n\n" + "=" * 20 + " Big Rules " + "=" * 20)
    for item in big_rules_list:
        print(item[0], "=>", item[1], "conf: ", item[2])

代码运行结果如下：

[{frozenset({'l5'}), frozenset({'l4'}), frozenset({'l2'}), frozenset({'l1'}), frozenset({'l3'})}, {frozenset({'l5', 'l1'}), frozenset({'l3', 'l2'}), frozenset({'l1', 'l2'}), frozenset({'l3', 'l1'}), frozenset({'l4', 'l2'}), frozenset({'l5', 'l2'})}, {frozenset({'l5', 'l1', 'l2'}), frozenset({'l3', 'l1', 'l2'})}]
{frozenset({'l5'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l2'}): 0.7777777777777778, frozenset({'l1'}): 0.6666666666666666, frozenset({'l4'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l3'}): 0.6666666666666666, frozenset({'l5', 'l1'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l1', 'l2'}): 0.4444444444444444, frozenset({'l5', 'l2'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l4', 'l2'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l3', 'l2'}): 0.4444444444444444, frozenset({'l3', 'l1'}): 0.4444444444444444, frozenset({'l5', 'l1', 'l2'}): 0.2222222222222222, frozenset({'l3', 'l1', 'l2'}): 0.2222222222222222}
[(frozenset({'l5'}), frozenset({'l1'}), 1.0), (frozenset({'l4'}), frozenset({'l2'}), 1.0), (frozenset({'l5'}), frozenset({'l2'}), 1.0), (frozenset({'l5', 'l1'}), frozenset({'l2'}), 1.0), (frozenset({'l5', 'l2'}), frozenset({'l1'}), 1.0), (frozenset({'l5'}), frozenset({'l1', 'l2'}), 1.0)]
==================================================
frequent 1-itemsets		support
==================================================
frozenset({'l5'}) 0.2222222222222222
frozenset({'l4'}) 0.2222222222222222
frozenset({'l2'}) 0.7777777777777778
frozenset({'l1'}) 0.6666666666666666
frozenset({'l3'}) 0.6666666666666666
==================================================
frequent 2-itemsets		support
==================================================
frozenset({'l5', 'l1'}) 0.2222222222222222
frozenset({'l3', 'l2'}) 0.4444444444444444
frozenset({'l1', 'l2'}) 0.4444444444444444
frozenset({'l3', 'l1'}) 0.4444444444444444
frozenset({'l4', 'l2'}) 0.2222222222222222
frozenset({'l5', 'l2'}) 0.2222222222222222
==================================================
frequent 3-itemsets		support
==================================================
frozenset({'l5', 'l1', 'l2'}) 0.2222222222222222
frozenset({'l3', 'l1', 'l2'}) 0.2222222222222222
 
 
==================== Big Rules ====================
frozenset({'l5'}) => frozenset({'l1'}) conf:  1.0
frozenset({'l4'}) => frozenset({'l2'}) conf:  1.0
frozenset({'l5'}) => frozenset({'l2'}) conf:  1.0
frozenset({'l5', 'l1'}) => frozenset({'l2'}) conf:  1.0
frozenset({'l5', 'l2'}) => frozenset({'l1'}) conf:  1.0
frozenset({'l5'}) => frozenset({'l1', 'l2'}) conf:  1.0