数学建模——蚁群算法(Ant Colony Algorithm, ACA)

1.什么是蚁群算法？

1.1 算法概述

蚁群算法(Ant Colony Algorithm, ACA)由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中首次提出。是一种灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为，用来在图中寻找优化路径的算法。

生物现象由来

蚁群系统(Ant System(AS)或Ant Colony System(ACS))是由意大利学者Dorigo、Maniezzo等人于20世纪90年代首先提出来的。他们在研究蚂蚁觅食的过程中，发现蚁群整体会体现一些智能的行为，例如蚁群可以在不同的环境下，寻找最短到达食物源的路径。后经进一步研究发现，这是因为蚂蚁会在其经过的路径上释放一种可以称之为“信息素(pheromone)”的物质，蚁群内的蚂蚁对“信息素”具有感知能力，其中信息素浓度与路径长度成反比，它们会沿着“信息素”浓度较高路径行走，而每只路过的蚂蚁都会在路上留下“信息素”，这就形成一种类似正反馈的机制，这样经过一段时间后，整个蚁群就会沿着最短路径到达食物源了。

行为特征

• 蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。

• 通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放 一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样，会形成一个 正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即距离最短。

• 生物学家同时发现， 路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。

• 将蚁群算法应用于解决优化问题，其基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

类比GA（遗传算法）的交叉、选择、变异，PSO（粒子群算法）的个体、群体极值优化，蚁群算法也有自己的优化策略：正反馈的信息机制、信息素浓度的更新、蚂蚁对能够访问的路径的筛选。

由上述蚂蚁找食物模式演变来的算法，即是蚁群算法。这种算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。

蚁群算法的应用

蚁群算法应用广泛，如旅行商问题(traveling salesman problem,简称TSP)、指派问题、Job-shop调度问题、车辆路径问题（vehicle routing problem）、图着色问题(graph coloring problem)和网络路由问题（network routing problem）等等。

​ 最近几年，该算法在网络路由中的应用受到越来越多学者的关注，并提出了一些新的基于蚂蚁算法的路由算法。同传统的路由算法相比较，该算法在网络路由中具有信息分布式性、动态性、随机性和异步性等特点，而这些特点正好能满足网络路由的需要。

1.2 数学原理

算法特点

其原理是一种正反馈机制或者称为增强型学习系统；它通过最优路径上蚂蚁数量增加导致后来蚂蚁选择该路径概率增大达到最终收敛于最优路径。
它是一种通用型随机优化方法，它吸收了蚂蚁的行为特征，它使用人工蚂蚁进行仿真。
它是一种分布式的优化方法，多个体同时进行搜索，具有本质并行性，大大提高了算法的搜索效率。
它是一种启发式算法，不容易陷入局部最优而更容易搜索到全局最优。
它是一种全局优化的方法，不仅可以用于求解单目标优化问题，而且可用于求解多目标优化问题。
1
2
3
4
5

关于蚁群算法中释放信息素的特点，定义了三种模型：

第一种模型假设信息素总量一定。信息素浓度和经过路径的长度成反比。
1

第二种模型中不使用经过的总路径，而仅仅使用相邻城市的路径长度。

第三种模型更简单，不管距离长短，释放的信息素都一样。

本文下面设计的MATLAB程序，以第一种模型为例。
1.3 算法步骤

ACA算法特点

• 采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近于最优解；

• 每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境（信息素）进行间接地通讯。对比之下，粒子群优化算法中采用局部最优解、全局最优解的广播来实现通讯。

• 搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率；

• 启发式的概率搜索方式，不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。

ACA中也采用轮盘赌法，和遗传算法中的启发方法一样，即选择最大的概率那个选项继续前进。

补充：启发式算法

现代启发式算法在优化机制方面存在一定的差异，但在优化流程上却具有较大的相似性，均是一种“邻域搜索”结构。算法都是从一个(一组)初始解出发，在算法的关键参数的控制下通过邻域函数产生若干邻域解，按接受准则(确定性、概率性或混沌方式)更新当前状态，而后按关键参数修改准则调整关键参数。如此重复上述搜索步骤直到满足算法的收敛准则，最终得到问题的优化结果。神经网络、禁忌搜索、模拟退火、和ACA，他们都是启发式的搜索方法，共同的基本要素：（1）随机初始可行解；（２）给定一个评价函数（常常与目标函数值有关）；（３）邻域，产生新的可行解；（４）选择和接受解得准则；（５）终止准则。

没有启发的算法就是随机搜索的算法，例如遗传算法。后面的博文中会针对这个问题细讲。

2.算法实例

2.1 旅行商问题（TSP）

Traveling Salesman Problem, TSP 是一个非常经典的问题

在N个城市中各经历一次后再回到出发点，使所经过的路程最短。

若不考虑方向性和周期性，在给定N的条件下，可能存在的闭合路径可达到1/2*N！数量级。当N较大时，枚举法的计算量之大难以想象。。

TSP问题经常被视为验证优化算法性能的一个“金标准”

初始化参数

在计算的开始需要对一些相关的参数进行初始化，如：

蚂蚁数量，既然是蚁群算法，我们肯定要拥有自己的蚁群，由它们对问题的解进行搜索，蚂蚁数量根据经验一般设定为目标数的1.5倍比较好，当蚂蚁数量较多时，所有蚂蚁不容易收敛于一个解，而数量较少时，解的效果可能不会让人满意。

信息素重要程度因子，这个参数是指在蚂蚁移动的过程种产生的信息素对蚂蚁的影响程度，比较好理解，参数越大，蚂蚁选择以前走过路径的可能性越大，会使蚁群更容易的收敛，导致搜索的随机性减弱不利于寻找全局最优解，过小的话就没有了信息素的意义，此参数一般为[0,5]之间比较好。

启发函数重要程度因子，它反映了启发式信息在指导蚁群在路径搜索中的相对重要程度，其大小反映的是蚁群寻优过程种先验性、确定性因素作用的强度。当它越大也是更容易导致收敛过快。一般设置为[0,5]。

信息素挥发因子，它是指信息素的消失水平，它的大小直接关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，过大导致信息素挥发过快，一些较好的路径会被排除，过小导致路径残留信息素较多，影响算法效率。一般设置为[0.2,0.5]。

信息素常量，它是指蚂蚁在将路径走完时总共释放的信息素数量，它往往和启发函数一起作用，一般设置在[10,1000]，问题规模越大信息素越高较好。

迭代次数，它是指整个蚁群累积搜索了多少次，注意蚁群算法在搜索过程种是整个蚁群同时开始搜索，然后此蚁群循环迭代，此参数一般设置为[100,500]之间，迭代次数设置的过高对算法没有实质意义，一般使其能够收敛即可。

构建模型

我们要知道目标蚂蚁是在固定的解空间内寻找最优解，首先肯定是将蚂蚁放在各个不同的出发点，然后让蚂蚁根据选择依据选择下一个要访问的城市，这个选择依据我们一般使用轮盘赌的方法，其中第i只蚂蚁到第j个城市的概率为：

a 其中为信息重要程度因子，b 为启发函数重要程度因子，

Tij 为第i个目标到第j个目标直接的信息素

Dij表示第i个目标到第j个目标直接的距离。然后让蚂蚁根据此规则进行搜索即可。

更新信息素
1

计算各蚂蚁经过的路径长度，记录当前最优解，之后将路径上的信息素进行更新，新的信息素量等于原本就有的信息素挥发后剩下的量加上此蚂蚁走过留下的信息素。在迭代过程中始终对信息素进行累加，以保证最终蚂蚁能够收敛到最优解。其中增加的信息素为：

Q为之前设置的信息素常量，L为蚂蚁走过总距离的长度，增加的信息素保证增加在此蚂蚁走过的所有路径段上。即假如一只蚂蚁走过的路径为：1->5->3->2->4->1,那么在1-5、5-3、3-2、2-4、4-1之间的路径上都要加上

2.2 实例代码（MATLAB）

%% I. 清空环境变量
clear all
clc
%% II. 导入数据
% load citys_data.mat
 citys = [16.4700   96.1000
     16.4700   94.4400
     20.0900   92.5400
     22.3900   93.3700
     25.2300   97.2400
     22.0000   96.0500
     20.4700   97.0200
     17.2000   96.2900
     16.3000   97.3800
     14.0500   98.1200
     16.5300   97.3800
     21.5200   95.5900
     19.4100   97.1300
     20.0900   92.5500];
%% III. 计算城市间相互距离
n = size(citys,1); % 城市数量
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;  %如果是0会导致矩阵对角线都是0 导致启发函数无穷大 因此取个很小的值    
        end
    end    
end
 
%% IV. 初始化参数
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表,每一行代表一个蚂蚁走过的路径
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  
 
%% V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
     % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
end
 
%% VI. 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% VII. 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143

2.3 结果展示

参考博客：

https://www.jianshu.com/p/e6a20de60797