多元函数泰勒公式（含黑塞矩阵)

作者：笔触狂放9 | 2024-04-23 10:57:25

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多元函数泰勒公式（含黑塞矩阵)

一元函数的泰勒公式：

接下来，由一元函数有关知识，我们有:

注意这里的dxⁿ中，应把dx看作一个整体，即一个微小变量的n次方

我们接下来推导微分算子：

接下来，把一元泰勒公式转为微分形式:

在这里插入图片描述
对于二元函数：

在这里插入图片描述
这里蓝色等号处需假设二阶偏导数连续。

类似地：
在这里插入图片描述
此外，多元函数的二阶全微分可以表示成自变量增量的二次型，如：

在这里插入图片描述
这里中间的矩阵就是黑塞矩阵。三元函数类似，读者可手推一下。

接下来，直接给出二元函数的泰勒公式：若z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数，则对于邻域内的(x,y)，有：
在这里插入图片描述
即二元与一元函数的泰勒公式的微分形式是一样的。我们把证明放到最后，接下来写出矩阵形式的二元函数的泰勒公式的前三项：

在这里插入图片描述
这就是含黑塞矩阵的泰勒公式。

至于证明，这里直接给出二元函数时的证明过程:
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
本篇讲解到此结束

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