【动态规划】【记忆化搜索】【状态压缩】1681. 最小不兼容性

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本文涉及知识点

动态规划汇总
状态压缩 记忆化搜索

1681. 最小不兼容性

给你一个整数数组 nums​​​ 和一个整数 k 。你需要将这个数组划分到 k 个相同大小的子集中，使得同一个子集里面没有两个相同的元素。
一个子集的 不兼容性 是该子集里面最大值和最小值的差。
请你返回将数组分成 k 个子集后，各子集 不兼容性 的 和 的 最小值 ，如果无法分成分成 k 个子集，返回 -1 。
子集的定义是数组中一些数字的集合，对数字顺序没有要求。
示例 1：
输入：nums = [1,2,1,4], k = 2
输出：4
解释：最优的分配是 [1,2] 和 [1,4] 。
不兼容性和为 (2-1) + (4-1) = 4 。
注意到 [1,1] 和 [2,4] 可以得到更小的和，但是第一个集合有 2 个相同的元素，所以不可行。
示例 2：
输入：nums = [6,3,8,1,3,1,2,2], k = 4
输出：6
解释：最优的子集分配为 [1,2]，[2,3]，[6,8] 和 [1,3] 。
不兼容性和为 (2-1) + (3-2) + (8-6) + (3-1) = 6 。
示例 3：
输入：nums = [5,3,3,6,3,3], k = 3
输出：-1
解释：没办法将这些数字分配到 3 个子集且满足每个子集里没有相同数字。
提示：
1 <= k <= nums.length <= 16
nums.length 能被 k 整除。
1 <= nums[i] <= nums.length

动态规划

对nums按升序排序。

动态规划的状态表示

pre[mask][end] 记录最小不兼容性和。mask表示nums中那些元素已经选择，选择的数优先放组号小的组。1组满了后，才放2组；2组满了，才放三组$\cdots$
组内升序排序，这样可以计算新的元素对不兼容性的影响。
状态数:2¹⁶*16

动态规划的转移方程

mask1 = mask | (1 << j )
end1 = j
j必须符合以下条件：

• j未被使用。
• 如果是某个组的首元素，可以选择任意元素。
• 如果不是某个组的首元素，j > end。且nums[j] != nums[end]
  $$\{\begin{array}{ll}dp[mask1][j]=dp[mask][end]& 某组的首元素\\ dp[mask1][j]=dp[mask][end]+nums[j]-nums[end]& 非组首元素\end{array}$$
  转移方程的时间复杂度：O(16)
  故总时间复杂度:O(2¹⁶1616)，由于很多不存在的状态，所有时间够。

动态规划的初始值

dp[0][0]全部为0，其它全部为10000。

动态规划的填表顺序

mask从小到大，枚举前置条件。

动态规划的返回值

dp.back()的最小值。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int minimumIncompatibility(vector<int>& nums, int k) {
		m_c = nums.size();
		m_iMaskCount = 1 << m_c;
		sort(nums.begin(), nums.end());
		vector<int> vBitCount(m_iMaskCount);
		for (int i = 1; i < m_iMaskCount; i++)
		{
			vBitCount[i] = 1 + vBitCount[i & (i - 1)];
		}
		vector<vector<int>> dp(m_iMaskCount, vector<int>(m_c, m_iNotMay));
		dp[0][0] = 0;
		for (int mask = 0; mask < m_iMaskCount; mask++)
		{
			bool bGroupFirst = (0 == vBitCount[mask] % (m_c / k));
			for (int end = 0; end < m_c; end++)
			{
				for (int j = bGroupFirst ? 0 : (end + 1); j < m_c; j++)
				{
					if ((1 << j) & mask)
					{
						continue;//已经选择
					}
					if ((nums[j] == nums[end])&& (!bGroupFirst))
					{
						continue;//相同
					}	
					const int iNew = dp[mask][end] + (bGroupFirst ? 0 : (nums[j]-nums[end]));
					dp[mask | (1 << j)][j] = min(dp[mask | (1 << j)][j],iNew);
				}
			}
		}
		const int iRet = *std::min_element(dp.back().begin(), dp.back().end());
		return (iRet >= m_iNotMay) ? -1 : iRet;
	}
	int m_c, m_iMaskCount,m_iNotMay=10000;
};
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测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	vector<int> nums;
	int k;
	{
		Solution sln;
		nums = { 1 }, k = 1;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, 0);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,1 }, k = 1;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, -1);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1, 2, 1, 4 }, k = 2;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, 4);
	}

	{
		Solution sln;
		nums = { 6, 3, 8, 1, 3, 1, 2, 2 }, k = 4;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, 6);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 5,3,3,6,3,3 }, k = 3;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, -1);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 11,11,3,4,2,16,14,13,6,14,2,5,10,13,5,7 }, k = 8;
		auto res = sln.minimumIncompatibility(nums, k);
		Assert(res, 12);
	}
}
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记忆化搜索+动态规划

从后置条件倒推前置条件，可以省去大量不必要的状态。运行速度提高500%。缺点可理解性大幅降低。
mask 选择了那些数，end 是最一个数。如果本组只有一个数，则最小不兼容性和就是 除本数外 的前几个完整的组的最小不兼容性和。
如果完整的组，最后一个元素一定是最大值。最大值一定是某个组的最后一个。将此组调到最后一组，结果不变。
EndZeroCount 从右到左为1的第一个下标（从0开始）。为了一致，nums降序排序。
每组一个元素要特殊处理。

int EndZeroCount(unsigned x )
{
	for (int i = 0; i < 32; i++)
	{
		if ((1 << i) & x)
		{
			return i;
		}
	}
	return 32;
}

class Solution {
public:
	int minimumIncompatibility(vector<int>& nums, int k) {
		m_c = nums.size();
		m_iMaskCount = 1 << m_c;
		m_pre = m_c / k;
		if (1 == m_pre)
		{
			return 0;
		}		
		sort(nums.begin(), nums.end(),std::greater<>());
		m_nums = nums;
		m_vBitCount.resize(m_iMaskCount);
		for (int i = 1; i < m_iMaskCount; i++)
		{
			m_vBitCount[i] = 1 + m_vBitCount[i & (i - 1)];
		}
		m_dp.assign(m_iMaskCount, vector<int>(m_c, m_iNotMay));
		const int iRet = Rec(m_iMaskCount-1);
		return (iRet >= m_iNotMay) ? -1 : iRet;
	}
	int Rec(int mask, int end)
	{
		if (0 == mask)
		{
			return 0;
		}
		auto& res = m_dp[mask][end];
		if (m_iNotMay != res)
		{
			return res;
		}
		const int iPreMask = mask ^ (1 << end);
		const int cnt = m_vBitCount[mask] % m_pre;//最后一组数量
		if (1 == cnt )
		{
			return res = Rec(iPreMask);
		}
		for (int i = end+1 ; i < m_c; i++)
		{
			if ((1 << i) & mask)
			{
				if (m_nums[i] != m_nums[end])
				{
					res = min(res, Rec(iPreMask,i)+ m_nums[end]-m_nums[i]);
				}
			}
		}
		return res;
	}
	int Rec(int mask)
	{
		return Rec(mask, EndZeroCount(mask));
	}
	int m_c, m_iMaskCount,m_iNotMay=10000, m_pre;
	vector<int> m_vBitCount;
	vector<vector<int>> m_dp;
	vector<int> m_nums;
};
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2023年2月版

class Solution {
public:
int minimumIncompatibility(vector& nums, int k) {
m_c = nums.size();
if (k == m_c)
{
return 0;
}
if (1 == k)
{
std::set setNums(nums.begin(), nums.end());
if (nums.size() != setNums.size())
{
return -1;
}
return *setNums.rbegin() - *setNums.begin();
}
std::sort(nums.begin(),nums.end());
m_iMaskNum = (1 << m_c )*m_c;
m_vMaskByBits.resize(m_c + 1);
m_vMaskByBits[0].push_back(0);
vector vMaskBits(m_iMaskNum);
for (int mask = 1; mask < m_iMaskNum; mask++)
{
const int iSelMask = mask / m_c;
vMaskBits[mask] = vMaskBits[(iSelMask&(iSelMask - 1))m_c] + 1;
m_vMaskByBits[vMaskBits[mask]].push_back(mask);
}
m_vMaskGroupFirstToMin.resize(m_iMaskNum, m_iNotMay);
m_vMaskGroupFirstToMin[0] = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
vector dp(m_iMaskNum, m_iNotMay);
for (int iMask : m_vMaskByBits[i])
{
if (m_iNotMay == m_vMaskGroupFirstToMin[iMask])
{
continue;
}
const int iSelMask = iMask / m_c;
const int iPreSel = iMask% m_c;
if (0 == i % (m_c/k))
{//新组
for (int j = 0; j < m_c; j++)
{
if (iSelMask & (1 << j))
{
continue;
}
const int iNewMask = JoinMask(iSelMask | (1 << j), j);
dp[iNewMask] = min(dp[iNewMask], min(m_vMaskGroupFirstToMin[iMask],dp[iMask]));
}
}
else
{
for (int j = iPreSel+1; j < m_c; j++)
{
if (iSelMask & (1 << j))
{
continue;
}
const int iAdd = nums[j] - nums[iPreSel];
if (0 == iAdd)
{
continue;
}
const int iNewMask = JoinMask(iSelMask | (1 << j), j);
dp[iNewMask] = min(dp[iNewMask], min(m_vMaskGroupFirstToMin[iMask], dp[iMask]) + iAdd);
}
}
}
m_vMaskGroupFirstToMin.swap(dp);
}
std::set setRet;
for (int iPre = 0; iPre < m_c; iPre++)
{
int iIndex = (1 << m_c) - 1;
iIndex = iIndexm_c + iPre;
setRet.insert(m_vMaskGroupFirstToMin[iIndex]);
}
int iMin = setRet.begin();
return (m_iNotMay == iMin) ? -1 : iMin;
}
int JoinMask(int iSelMask, int iNewSelIndex)
{
return iSelMaskm_c + iNewSelIndex;
}
vector m_vMaskGroupFirstToMin;
int m_c;
int m_iMaskNum;
vector<vector> m_vMaskByBits;
const int m_iNotMay = 1000 * 1000;
};

2023年9月版

class Solution {
public:
int minimumIncompatibility(vector& nums, int k) {
m_c = nums.size();
if (k == m_c)
{
return 0;
}
m_iMaskNum = 1 << m_c;
if (0 != m_c % k)
{
return -1;
}
const int iNumOfAGroup = m_c / k;
vector<vector> vBitMask(m_c+1);
vBitMask[0].emplace_back(0);
for (int mask = 1; mask < m_iMaskNum; mask++)
{
vBitMask[bitcount((unsigned int)mask)].emplace_back(mask);
}
std::unordered_map<int, int> mMaskCom;
for (int mask : vBitMask[iNumOfAGroup])
{
int iMax = INT_MIN, iMin = INT_MAX;
unordered_set setValues;
for (int j = 0; j < m_c; j++)
{
if (mask & (1 << j))
{
MaxSelf(&iMax, nums[j]);
MinSelf(&iMin, nums[j]);
setValues.emplace(nums[j]);
}
}
if (setValues.size() != iNumOfAGroup)
{
continue;
}
mMaskCom[mask] = iMax - iMin;
}
int pre[1 << 16] = { 0 };
for (const auto& it : mMaskCom)
{
pre[it.first] = it.second;
}
for (int i = 2; i <= k; i++)
{
int dp[1 << 16] = { 0 };
for (const int& mask : vBitMask[iNumOfAGroup*i])
{
for (int sub = mask; sub; sub = (sub - 1) & mask)
{
if ((0 != pre[sub])&& mMaskCom.count(mask - sub))
{
int iNew = pre[sub] + mMaskCom[mask - sub];
if (0 != dp[mask])
{
iNew = min(iNew, dp[mask]);
}
dp[mask] = iNew;
}
}
}
memcpy(pre, dp, sizeof(dp));
}
return pre[m_iMaskNum - 1] ? pre[m_iMaskNum - 1] : -1;
}
int m_c, m_iMaskNum;
};

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。