回归、自回归、循环神经网络（RNN）、LSTM_自回归神经网络

1 RNN的统计学基础

1.1 回归：

Investpedia:
Regression refers to the relation between selected values of x and observed values of y (from which the most probable value of y can be predicted for any value of x). The general form of each type of regression is:

• Simple linear regression: $Y=a+bX+u$
• Multiple linear regression: $Y=a+b_1{X}_1+b_2{X}_2+b_3{X}_3+...+b_t{X}_t+u$
  Where:
  $Y$ = the variable that you are trying to predict (dependent variable，因变量).
  $X$ = the variable that you are using to predict Y (independent variable，自变量).
  $a$ = the intercept（截距）.
  $b$ = the slope（斜率）.
  $u$ = the regression residual（回归残差）.

1.2 自回归（Auto-Regression, AR模型）

自回归，即AR模型，属于时间序列分析的范畴，即用一个变量$y_t$的历史信息来预测自己，tutorialspoint给出的定义：

• For a stationary time series, an auto regression models sees the value of a variable at time ‘t’ as a linear function of values ‘p’ time steps preceding it. Mathematically it can be written as：
  $y_t=C+{\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+...+{\varphi }_p{y}_{t-p}+{ϵ}_t$
  Where,‘p’ is the auto-regressive trend parameter
  ${ϵ}_t$ is white noise, and $y_{t-1},y_{t-2}...y_{t-p}$ denote the value of variable at previous time periods.

1.3 有外部输入的非线性自回归模型(Nonlinear AutoRegressive with Exogenous Inputs Model，NARX)

NARX是自回归模型的扩展，在每个时刻$t$都有一个外部输入$x_t$，产生一个输出$y_t$，NARX通过一个延时器记录最近$K_x$次的外部输入和最近$K_y$次的输出，第$t$个时刻的输出$y_t$为:
$y_t=f(x_t,x_{t-1},...,x_{t-K_x},y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-K_y})$
其中$f()$表示非线性函数，可以是一个前馈网络，$K_x$ 和$K_y$为超参数。

2 简单循环神经网络

2.1 循环神经网络的通用近似定理

如果一个完全连接的循环神经网络有足够数量的 sigmoid 型隐藏神经元，它可以以任意的准确率去近似任何一个非线性动力系统：

$s_t=g(s_{t-1},x_t)$
$y_t=o(s_t)$

2.2 学习模式

2.3 参数学习

2.4 梯度爆炸、梯度消失与长程依赖问题

2.5 门控机制、LSTM及其变体

2.6 深层循环神经网络

2.6.1 堆叠循环神经网络

图 按时间展开的堆叠循环神经网络

2.6.2 双向循环神经网络

在有些任务中，一个时刻的输出不但和过去时刻的信息有关，也和后续时刻
的信息有关．比如给定一个句子，其中一个词的词性由它的上下文决定，即包含左右两边的信息．因此，在这些任务中，我们可以增加一个按照时间的逆序来传递信息的网络层，来增强网络的能力．
双向循环神经网络（Bidirectional Recurrent Neural Network，Bi-RNN）由
两层循环神经网络组成，它们的输入相同，只是信息传递的方向不同．
图 按时间展开的双向循环神经网络