堆的定义，堆与树的区别，堆排序（Java实现）_堆和树的区别

堆的定义（Heap）

堆是一个特殊的数据结构，可以看作是用数组实现的二叉树。

它是一个完全二叉树，除了树的最后一层结点不需要是满的，其它的每一层从左到右都是满的，如果最后一层结点不 是满的，那么要求左满右不满。

数组实现的具体方法就是将二叉树的结点按照层级顺序放入数组中，根结点在位置1，它的子结点在位置2和3，而子结点的子结点则分别在位置4，5，6和7，以此类推。

堆的每个结点都大于等于它的两个子结点。这里要注意堆中仅仅规定了每个结点大于等于它的两个子结点，但这两个子结点的顺序并没有做规定，跟二叉查找树是有区别的。 

怎么去确定结点位置呢？如果一个结点的位置为k，则它的父结点的位置为k/2，而它的两个子结点的位置则分别为2k和2k+1。这样在不使用指针的情况下，我们也可以通过计算数组的索引在树中上下移动：从a[k]向上一层，就令k等于k/2，向下一层就令k等于2k或2k+1。 

 

堆与树之间的区别

结点的排序：在二叉查找树中，左子节点必须比父节点小，右子节点必须必比父节点大。但是在堆中并非如此，在最大堆中两个子节点都必须比父节点小，而在最小堆中，它们都必须比父节点大，就像是从大到小或者从小排序的一个数组。

内存占用：普通的树所占用的内存会更多，因为它需要指针，指向左右子结点，而堆不用，只需要储存一个数组就可以了，因为它规定了子父结点之间的关系。

平衡以及作用：普通的树更强调平衡性，只有在平衡的时候，树的快速查找才能体现出来，而堆并不需要，它更多的是利用堆排序来进行增删，它们的职能是不一样的。

 

堆的API设计（最大堆）

 

 

public class Heap<T extends Comparable<T>> {
    private T[] items;
    private int N;
 
    public Heap(int capacity) {
        //capacity+1是因为索引从1开始储存数据
        this.items = (T[]) new Comparable[capacity + 1];
        this.N = 0;
    }
 
        // 判断索引i处的值是否小于索引j处的值
    private boolean less(int i,int j){
        return items[i].compareTo(items[j])<0;
    }
    // 交换i处和j处的值
    private void exchange(int i,int j){
        T temp = items[i];
        items[i]=items[j];
        items[j]=temp;
    }
    // 往堆中插入元素
    public void insert(T t){
        items[++N]=t;
        //添加之后进行上浮排序
        swim(N);
    }
    // 删除堆中最大的元素，并返回这个最大元素
    public T delMax(){
        //就是将第一个元素和最后一个元素交换，再让最后索引为null，最后下沉第一个元素
        T max = items[1];
        exchange(1,N);
        items[N] = null;
        N--;
        // 通过下沉算法调整堆的排序
        sink(1);
        return max;
    }
    // 上浮算法，使得添加的元素在合适的位置
    public void swim(int k){
        // 通过循环不断比较与父结点的大小，若比父结点大，就换位置上浮
        while (k > 1) {
            if (less(k/2,k)){
                exchange(k/2,k);
            }
            k=k/2;
        }
    }
    // 下沉算法
    private void sink(int k){
        // 通过循环不断比较当前结点k与其左子结点2k和右子结点2k+1中的较大值
        while (2*k<=N){
            int max;
            if (2 * k + 1 <= N) {
                if (less(2*k,2*k+1)){
                    max=2*k+1;
                }else {
                    max=2*k;
                }
            }else {
                max=2*k;
            }
            if (!less(k,max)){
                break;
            }
            exchange(k,max);
            k=max;
        }
    }
}

 

堆排序

排序原理：堆排序分为两个过程，一个是堆有序的构建，二是堆的排序。

1. 首先在堆索引的一半处开始倒叙遍历，对得到的每一个元素做下沉操作，得到一个有序的完全二叉树（此时只是树形结构上的有序，而不是堆的有序）。
2. 再通过将首结点与末结点交换，在排除此时末结点的范围内对首结点进行下沉，往复筛选全部元素的方法，实现堆排序。

 

 

堆排序的API设计

public class HeapSort {
    //对source数组中的数据从小到大排序
    public static void sort(Comparable[] source) {
        //创建一个比原数组大1的数组
        Comparable[] heap = new Comparable[source.length + 1];
        //构造堆
        createHeap(source,heap);
        //堆排序
        //定义一个变量，记录heap中未排序的所有元素中最大的索引
        int N = heap.length-1;
        while(N!=1){
            //交换heap中索引1处的元素和N处的元素
            exchange(heap,1,N);
            N--;
            //对索引1处的元素在0~N范围内做下沉操作
            sink(heap,1,N);
        }
        //heap中的数据已经有序，拷贝到source中
        System.arraycopy(heap,1,source,0,source.length);
    }
 
    // 根据原数组source，构造出堆heap
    private static void createHeap(Comparable[] source,Comparable[] heap){
        System.arraycopy(source,0,heap,1,source.length);
        //2.从heap索引的一半处开始倒叙遍历，对得到的每一个元素做下沉操作
        for (int i=(heap.length)/2;i>0;i--){
            sink(heap,i,heap.length-1);
        }
    }
    //判断heap堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素
    private static boolean less(Comparable[] heap,int i,int j){
        return heap[i].compareTo(heap[j])<0;
    }
    //交换heap堆中i索引和j索引处的值
    private static void exchange(Comparable[] heap,int i, int j){
        Comparable tem= heap[i];
        heap[i]=heap[j];
        heap[j]=tem;
    }
    // 在堆heap中对目标元素进行下沉，范围为range
    private static void sink(Comparable[] heap,int target,int range){
        //有子结点
        while (2 * target <= range) {
            int max=0;
            //有两个子结点
            if (2 * target + 1 <= range) {
                if (less(heap,2*target,2*target+1)){
                    max=2*target+1;
                }else {
                    max=2*target;
                }
 
            }else {
                max=2*target;
            }
            if (less(heap,target,max)){
                exchange(heap,target,max);
            }
            // 为了继续下一个循环
            target=max;
        }
    }
}