精细解说机器学习模型：XGBoost模型_xgboost网络模型

这篇应该是你见过的讲xgboost的文章里最细的。

简单介绍

首先需要介绍GBDT，它是一种基于boosting增强策略的加法模型，训练的时候采用前向分布算法进行贪婪的学习，每次迭代都学习一棵CART树来拟合之前 t-1 棵树的预测结果与训练样本真实值的残差。

在核心思想不变的情况下，XGBoost对GBDT进行了一系列优化，主要是损失函数进行了二阶泰勒展开，另外还有目标函数加入正则项、支持并行和默认缺失值处理等，在可扩展性和训练速度上有了巨大的提升。

模型核心思想

1. Boosting提升方法
2. 使用二阶泰勒展开来近似拟合残差：相对于GBDT的一阶导数，XGBoost采用二阶泰勒展开，可以更为精准的逼近真实的损失函数
3. 贪婪方法分裂节点

模型前提设定

训练数据集 D = { ( x i , y i ) } i = 1 n D=\{\left(x_i,y_i\right)\}_{i=1}^{n} D={ (xi​,yi​)}i=1n​，其中$x_i\in {\mathbb{R}}^m,y_i\in \mathbb{R}$。又有实例$x$。

01 - 单棵决策树模型表示方法

假设某棵决策树有$T$个叶子节点，则单棵决策树模型可记为：
$$f(x)=w_{q(x)}$$
其中 q : R m → { 1 , … , T } q:\mathbb{R}^m\to \{1,\dots,T\} q:Rm→{ 1,…,T}是由输入$x$向叶子节点编号的映射，其本质是树的分支结构；而$w\in {\mathbb{R}}^T$是叶子权重向量。

例如实例 $x$ 落在了决策树的第 $j$ 个节点，则其输出值即为 $w_j$ 的值。而叶子节点向量即为
$$w=(w_1,\cdots ,w_j,\cdots ,w_T)$$

02 - 加法模型结构

使用$\text{Boosting}$思想，对于实例$x$，总模型的预测输出为
$$\hat{y}=\varphi \left(x\right)=\sum _{k=1}^K{f}_k\left(x\right)$$
其中，$f_k\left(x\right)$ 为第 $k$ 棵决策树。

核心生成原理

03 - XGBoost的正则化目标函数及其变量解释

$XGBoost$的正则化目标函数由损失函数和正则化项两部分组成，定义如下：
$$L=\sum _{i=1}^{n}l(y_i,{\hat{y}}_i)+\sum _{k=1}^K\Omega (f_k)$$
以下逐一解释各个参数：

1. $l$表示损失函数。由于模型将使用二阶泰勒展开，因此要求损失函数一阶和二阶可导。常见的损失函数有：

   • 用于回归的平方损失函数：$l(y,\hat{y})=(y-\hat{y}{)}^2$
   • 用于分类的逻辑回归损失函数：$l(y,\hat{y})=y\ln (1+e^{-\hat{y}})+(1-y)\ln (1+e^{\hat{y}})$

2. ${\hat{y}}_i$表示第$i$个样本$x_i$的预测值。作为加法模型，预测得分是每棵树打分的累加之和：
   $${\hat{y}}_i=\sum _{k=1}^K{f}_k(x_i),f_k\in \mathcal{F}$$
   如上式，此模型中共有 $k$ 棵树，$f_k$ 为第 $k$ 棵树的函数（模型）。

3. $\Omega (f)$为单棵数的复杂度。模型将全部 $k$ 棵树的复杂度进行求和，添加到目标函数中作为正则化项，以防止模型过拟合：
   $$\sum _{k=1}^K\Omega (f_k)$$

04 - 学习第 $t$ 棵树

假设在第 $t$ 轮，也是生成第 $t$ 棵树时，要训练的树模型为 $f_t$ ，则在第 $t$ 轮迭代后，实例 $x$ 的预测结果 ${\hat{y}}^{(t)}$ 为：
$${\hat{y}}^{(t)}=\sum _{k=1}^t{f}_k(x)={\hat{y}}^{(t-1)}+f_t(x)$$
公式中 ${\hat{y}}^{(t-1)}$ 为前 $t-1$ 棵树的预测结果。

注意，在第 $t$ 轮迭代时，前 $t-1$ 棵树已知，因此 ${\hat{y}}^{(t-1)}$ 也是一个已知常量。

将上式代入模型的基本目标函数，得到第 $t$ 轮的目标函数为
L ( t ) = ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( t ) ) + ∑ k = 1 t Ω ( f k ) = ∑ i = 1 n l ( y i , y ^ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) ) + Ω ( f t ) +  constant 

$$\begin{aligned} L^{(t)} &=\sum_{i=1}^{n} l\left(y_{i}, \hat{y}_{i}^{(t)}\right)+\sum_{k=1}^{t} \Omega\left(f_{k}\right) \\ & = \sum_{i=1}^{n} l\left(y_{i}, \hat{y}_{i}^{(t-1)}+f_{t}\left(x_{i}\right)\right)+\Omega\left(f_{t}\right)+\text { constant } \end{aligned}$$ L(t)​=i=1∑n​l(yi​,y^​i(t)​)+k=1∑t​Ω(fk