Java数据结构学习DAY5——二叉树(一)_java设一个n个节点的二叉树tree(1,2,3......n),其中数字1,2,3....,n)

Java数据结构学习DAY5——二叉树

1. 树型结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。树是递归定义的。

1.2 树的相关概念（重要）

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如下图
  

2. 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右
子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、
节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是$2^k-1$ ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有$2^{i-1}$(i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是$2^k-1$(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为$lo{g}_2(n+1)$上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则于序号为i的结点有：
   若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
   

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的根节点
}
1
2
3
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5
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2.6 二叉树的基本操作

2.6.1 二叉树的遍历

• 所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。
• 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
• 在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

4. 层序遍历：设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.6.2 二叉树的基本操作

// 前序遍历
void preOrderTraversal(Node root);

// 中序遍历
void inOrderTraversal(Node root);

// 后序遍历
void postOrderTraversal(Node root);

// 遍历思路-求结点个数
static int size = 0;
void getSize1(Node root);

// 子问题思路-求结点个数
int getSize2(Node root);

// 遍历思路-求叶子结点个数
static int leafSize = 0;
void getLeafSize1(Node root);

// 子问题思路-求叶子结点个数
int getLeafSize2(Node root);

// 子问题思路-求第 k 层结点个数
int getKLevelSize(Node root);

// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);

// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
// 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
// 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
Node find(Node room, int val)
1
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6
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2.7 基础面试题

1. 二叉树的前序遍历。
2. 二叉树中序遍历 。
3. 二叉树的后序遍历 。
4. 检查两颗树是否相同。
5. 另一颗树的子树。
6. 二叉树最大深度。
7. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树。
8. 对称二叉树。

2.8 进阶面试题

1. 二叉树的构建及遍历。
2. 二叉树的分层遍历 。
3. 给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。
4. 二叉树搜索树转换成排序双向链表。
5. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。
6. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。
7. 二叉树创建字符串。

2.9 前中后序的非递归实现

1. 二叉树前序非递归遍历实现 。
2. 二叉树中序非递归遍历实现。
3. 二叉树后序非递归遍历实现。