树形DP_给定一棵树,树根为1,每个节点

引入

  顾名思义，树形DP就是指在“树”上进行的DP：给出一棵树，要求以最少的代价或取得最大的收益完成给定的操作。而用DP的意义在于，通常这类题目的规模较大，枚举的效率比较低，贪心不能得到最优解，因此用到DP。

  比如hdu1520这道题目。
  一棵有根树每个节点上有一个权值，相邻的父节点和子节点只能选择一个，问如何选择使得总权值之和最大（邀请员工参加宴会，为了避免员工和直属上司发生尴尬，规定员工和直属上司不能同时出席）。
  输入：节点编号从1到N。第一行是数字N，1≤N≤6000.后续N行中的每一行都包含节点的权值，范围是-128到127的整数。下面是T行，为整数L K，描述一个父子关系，表示第K个节点是第L个节点的父节点。读到0 0 时结束。
  输出：输出总的最大权值。
输入样例：

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
0 0

输出样例

5

  这就是一道最基础的树形DP了。

思路分析

  先根据输入样例构造出树的结构。用瞪眼法很容易看出选1、2、5、6、7时有最大值为5.
  可以定义定义dp[i][0]表示不选择当前节点时的最优解，dp[i][1]表示选择当前节点时的最优解。那么状态转移方程就有两种情况：
  （1）不选择当前节点，那么他的子节点可选可不选，选择其中权值较大的就好了：

dp[u][0] += max(dp[son][1], dp[son][0]);
1

  （2）选择当前节点，那么他的子节点就不能选：

dp[u][1] += dp[son][0];
1

代码解析

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 6010;

int n, a, b;
int value[N], father[N], dp[N][2];
vector<int> tree[N];            //father存放父节点，tree存放子节点
void dfs(int u){
    dp[u][0] = 0;               //赋初值：不参加宴会
    dp[u][1] = value[u];        //赋初值：参加宴会
    for(int i = 0; i < tree[u].size(); i++){ 
        int son = tree[u][i];
        dfs(son);                               //先深搜子节点
        dp[u][0] += max(dp[son][0], dp[son][1]);//再更新父节点的dp
        dp[u][1] += dp[son][0];
    }
}

int main(){
    while(~scanf("%d", &n)){ 
        for (int i = 1; i <= n; i++){ 
            scanf("%d", value + i);
            tree[i].clear();
            father[i] = -1;         //初始化
        } 
        while(~scanf("%d%d", &a, &b) && a && b){ 
            tree[b].push_back(a);   //邻接表建树
            father[a] = b;
        }
        int root = 1;
        while(~father[root])        //查找树的根节点
            root = father[root];
        dfs(root);                  //从根开始搜做
        printf("%d\n", max(dp[root][0], dp[root][1]));
    }
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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