[数论]——辗转相除法求最大公因数

1. 辗转相除法

1.1.算法实现

int gcd(int a, int b){
    return b == 0?a:gcd(a,a%b);
}
1
2
3

无论a>b还是b>a都适用。

因为，若a<b，那么显然会有a%b=a，也就会出现gcd(a,b)=gcd(b,a)显然成立。

1.2.实现流程

求a与b的最大公约数：

1.3.证明

①引理：如果有等式

$a=k\ast b+r$

r = a%b

成立， 那么a与b和a与r（r=a%b）有相同的公因式。

②假设d为a和b的最大公因式，即d|a， d|b。 r = a%b, 所以d|r。

设gcd是求两数的最大公约数函数，则可以表示为

很明显这里的m就是a和b的最大公约数了，其它公约数也一定是m的因数。

1.3.2. 引理及其证明

如果有等式

$f=q\ast g+r$

从式子中可以看出r是f除以g的余数。

成立， 那么f与g和g与r（r=f%g）有相同的公因式。

1.3.2. 证明[非手写形式]

$f=q\ast g+r$

即证明$f$，$g$ 和$ g$、$r$(r=f%g)有相同的公因式

我们可以将以上问题转化为证明：

• $ g$、$r$的公因式全是$ f$、$g$的公因式

• $f$，$g$ 的公因式全是$ g$、$r$的公因式

$ g$、$r$的公因式公因式全是$ f$、$g$的公因式

• ①已知$f=q\ast g+r$

• ②如果 $x|g$, $x|r$

• ③那么由①得， $x|f$

• ④∴ g,r的公因式， 全是g，f的公因式

$f$，$g$ 的公因式公因式全是$ g$、$r$的公因式

• ①已知$f=q\ast g+r$

• ②如果$x|f$, $x|g$

• ③那么x一定能整除它们的组合

  $r=f-q\ast g$

• 这就说明： x是g、r的公约数

• 所以f、g的公约数，全是g、r的公约数

由引理可得， 如果d为f，g的最大公因式，那么d也是g,r(f%g)的最大公因式。