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EM算法(expectation maximization algorithms)揭秘

作者：笔触狂放9 | 2024-06-05 13:10:28

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em算法

EM算法篇

EM算法简介

EM算法，也叫expectation maximization algorithms，是在包含隐变量(未观察到的潜在变量)的概率模型中寻找参数最大似然估计(也叫最大后验估计)的迭代算法。EM 算法在期望 (E步骤) 和最大化 (M步骤) 之间交替执行，前者计算模型参数当前估计的对数似然期望函数，后者对E步骤中找到的预期对数似然计算最大化，然后使用参数新估计值来确定下一个E步骤中隐变量的分布。EM算法是很多机器学习算法的基础，如GMM、HMM、GAN、FA等。

EM算法核心

令所有可观测变量为X，所有隐变量为Z，以及 $\theta$ 为模型参数，那么 $P(X,Z|\theta )$ 表示被 $\theta$ 支配的X和Z联合概率分布。我们的目标是最大化似然函数 $P(X|\theta )$ 。

1. 选择初始模型参数 $\theta ^{old}$

2. E步骤：计算 $p(Z|X,\theta^{old} )$

3. M步骤：利用公式 $\theta ^{new}=arg\: max _{\theta } Q(\theta ,\theta ^{old})$ ，计算 $\theta ^{new}$ ，

其中 $Q(\theta ,\theta ^{old})=\sum _{Z}P(Z|X,\theta^{old} )lnP(X,Z|\theta )$

4. 判断目标对数似然函数（即 $lnP(X|\theta )$ ）和模型参数 $\theta$ 是否收敛，有一个收敛即可，如果都不满足，那么令 $\theta ^{old}\leftarrow \theta ^{new}$ ，并返回第2步。否则结束算法。

思考：上述步骤的 $lnP(X,Z|\theta )$ 如何与目标对数似然函数 $lnP(X|\theta )$ 建立联系？见推导部分

背景知识：KL散度

KL散度（全称是 Kullback-Leibler 散度，也称为相对熵和I 散度），表示为 $D_{KL}(P||Q)$ ，是一种统计距离，它衡量两个概率分布(P和Q)的差异程度（因此是非负的）。一个简单解释是，当实际分布为P时，使用Q作为预期时的额外惊喜。它的重要性质是不对称，或说不符合交换律，一般来说 $D_{KL}(P||Q)\neq D_{KL}(Q||P)$ 。另外，它也不满足三角不等式。相对熵为 0 表示两个分布具有相同的信息量。从Q到P的相对熵 $D_{KL}(P||Q)$ 公式一般表示为：

其等价于

也就是说，它是概率分布P和Q之间的对数差的期望，其中使用前概率P获取该期望。

KL散度(相对熵)和交叉熵的关系

P和Q的KL散度(相对熵)等于P和Q的交叉熵减去P的熵（即P 与自身的交叉熵），具体推导如下

EM推导过程

首先，我们对 $P(X|\theta )$ 进行改写，引入隐变量Z的求和，显然有：

$P(X|\theta )$ = $\sum _{Z}P(X,Z|\theta )$ (0)

这里我们假设X和Z都是离散的变量，当处理连续变量时，只需要把求和( $\sum$ )变为积分( $\int$ )即可。

我们注意到，直接优化 $P(X|\theta )$ 是困难的，但是优化 $P(X,Z|\theta )$ 是相对容易的。我们把X和Z的组合叫做完全数据(complete-data )。我们定义一个函数 $q(Z)$ 表示隐变量Z的分布。我们发现对于任意的 $q(Z)$ ，有如下等式成立：

$ln P(X|\theta ) =L(q,\theta )+KL(q||p)$ (1)

其中 $L(q,\theta )=\sum _{Z}q(Z)ln{\frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}}$ (2)

以及 $KL(q||p)=-\sum _{Z}q(Z)ln{\frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}}$ (3)

思考：怎么验证？很简单，公式(2)和(3)相加，首先提取 $\sum _{Z}q(Z)$ ，由于 $q(Z)$ 是Z的分布，所以求和为1。然后两个ln对数相加，即 $ln{\frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}}-ln{\frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}}=ln{\frac{p(X,Z|\theta )}{p(Z|X,\theta )}}$ ，而 $\frac{p(X,Z|\theta )}{p(Z|X,\theta )} = p(X|\theta )$ ，因此等号成立。

注意：这里的 $L(q,\theta )$ 是q和 $\theta$ 的函数，而q本身又是Z的函数。另外， $L(q,\theta )$ 包含X和Z的联合概率； $KL(q||p)$ 包含已知X求Z的条件概率。当然， $KL(q||p)$ 有个负号。

$KL(q||p)$ 是 $q(Z)$ 和 $p(Z|X,\theta )$ 的KL散度。因此 $KL(q||p)$ >=0，当且仅当 $q(Z)$ = $p(Z|X,\theta )$ 时，等号成立。因此，根据公式(1)有： $L(q,\theta )<=ln P(X|\theta )$ ，换言之， $L(q,\theta )$ 是 $ln P(X|\theta )$ 的一个下界。因此，我们可以作图如下：

（左边两根黑色竖线的高度之和等于右边竖线的高度）

再次强调，以上公式和图对任意 $q(Z)$ 都成立。

EM算法是利用两阶段迭代优化来找到最大似然解的算法。可以利用公式(1)来定义EM算法，并证明它确实能够最大化log likelihood，即 $ln P(X|\theta )$ 。假设当前参数向量是 $\theta ^{old}$ ，在E步骤中，对下界 $L(q,\theta^{old} )$ 关于q(即 $q(Z)$ )进行最大化，其中保持 $\theta ^{old}$ 固定。注意到， $ln P(X|\theta ^{old})$ 不依赖于q(即 $q(Z)$ )，因此 $L(q,\theta^{old} )$ 的最大值只会发生在KL散度消失的时候，即 $KL(q||p)$ =0。这意味着q=p，即 $q(Z)$ = $p(Z|X,\theta^{old} )$ ，此时下界等于所求的log likelihood，如下图所示：

（注意，此时两根黑色竖线一样高）

在接下来的M步骤中， $q(Z)$ 保持固定，让下界 $L(q,\theta )$ 关于 $\theta$ 最大化，得到新的 $\theta$ 值，叫做 $\theta ^{new}$ ，这样会造成下界 $L(q,\theta )$ 变大，除非已经到达最大值点。而下界的增加就会推动 log likelihood(即 $ln P(X|\theta )$ )的增加。由于 $q(Z)$ 是利用 $\theta ^{old}$ 而非 $\theta ^{new}$ 得到的，且在M步骤中保持固定，它自然不会等于 $p(Z|X,\theta^{new} )$ ，因此一定会存在一个非零的KL散度。这意味着，log likelihood的增加幅度会大于下界的增加，如下图所示：

（M步骤中出现非零的KL散度；同时log likelihood的增加幅度（红线所示）大于下界的增加幅度（蓝色所示））

如果我们替换公式(2)中的 $q(Z)$ 为 $p(Z|X,\theta^{old} )$ ，即根据 $KL(q||p)$ =0，那么在E步骤之后，下界就变为： $L(q,\theta )=\sum _{Z}q(Z)ln{\frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}}$

$=\sum _{Z}P(Z|X,\theta ^{old})ln{{P(X,Z|\theta )}} - \sum _{Z}P(Z|X,\theta ^{old})ln{{P(Z|X, \theta^{old} )}}$

把上式记为 $Q(\theta ,\theta ^{old})+const$ ，其中 $const$ 代表右项，表示常量，这里是 $q(Z)$ （即 $p(Z|X,\theta^{old} )$ ）的负熵，它独立于 $\theta$ 。（这里的 $Q(\theta ,\theta ^{old})$ 展开和上面EM算法的M步骤一致！）

注意到 $\theta$ 只在ln中出现，即 $ln{{P(X,Z|\theta )}}$ ，如果 $P(X,Z|\theta )$ 包含指数形式或指数乘积形式，那么对数ln就能和指数一起抵消，最终导致在M步骤中，完全数据(complete-data )的求对数似然函数的极大值，即 $ln{{P(X,Z|\theta )}}$ ，比不完全数据(incomplete-data )的求对数似然函数的极大值，即 $ln{{P(X|\theta )}}$ ，更简化。

EM算法的运算过程随着 $\theta$ 的更新可表示如下图：

（当模型参数 $\theta$ 从 $\theta ^{old}$ 变为 $\theta ^{new}$ ，下界 $L(q,\theta )$ 推动log likelihood(即 $ln P(X|\theta )$ )变化；最大化下界得到新的 $\theta$ ；不断迭代）

为了最大化红色曲线代表的不完全数据(incomplete-data )的对数似然函数，即 $ln{{P(X|\theta )}}$ ，从初始的 $\theta ^{old}$ 开始，在第一轮E步骤中，首先评估潜在变量的后验分布，这产生一个下界如 $L(q,\theta ^{old})$ ，如图蓝色曲线在 $\theta ^{old}$ 的取值，其实就是蓝色和红色的切点，意味着此刻两条曲线有相同的梯度。而蓝色曲线（即下界）是一个凸函数（对于指数族及其混合形式来说，这里指 $P(X,Z|\theta )$ ），只有一个极大点。在M步骤中，对下界最大化得到 $\theta ^{new}$ ，从而相对于 $\theta ^{old}$ ，把log likelihood(即 $ln P(X|\theta )$ )往大的方向推动。在第二轮的E步骤又构造新的下界（绿色曲线），与红色曲线正切于 $\theta ^{new}$ 。这就是EM算法的形象化运行轨迹。

EM应用篇(GMM)

背景知识：高斯分布

高斯分布(Gaussian distribution)也叫正态分布(normal distribution)，是一种广泛使用的连续变量概率分布，对于单变量x来说，其概率密度函数为：

(公式Ⅰ-0)

这里做简单的变形，且用 $\mathbb{N}(x)$ 代替f(x)，表示为：

(公式Ⅰ-1)

其中µ 、σ 分别表示均值和标准差。对于一个D维的向量X来说，多变量高斯分布可表达为：

(公式Ⅰ-2)

其中µ 表示均值向量，Σ 表示DxD维的协方差矩阵。而|Σ|表示Σ 的行列式的值。

GMM基本介绍

高斯混合模型，是多个含有离散隐变量的高斯分布，可以写为高斯模型的线性叠加形式，如下

(公式 Ⅱ)

K表示高斯模型的个数；令z是K维的随机变量向量，其值只能取0或1（即 $z_{k}\epsilon$ {0, 1}），且只有一个 $z_{k}$ 值为1，其余都是0；因此有 $\sum _{k}z_{k}=1$ ；此时可以定义联合分布 $p(x,z)=p(z)p(x|z)$ ，我们称 $p(z)$ 是z的边缘概率分布， $p(x|z)$ 是已知z求x的条件分布。

现在思考 $z_{k}$ 和模型混合参数 $\pi_{k}$ 的关系，很明显， $p(z_{k}=1)=\pi_{k}$ ，其中 $\pi_{k}$ 满足： $0\leqslant \pi_{k}\leqslant 1$ ，以及 $\pi_{k}$ 的总和为1，即：

$\sum_{k=1}^{K}\pi _{k}=1$ (公式 Ⅲ)

此时 $\pi_{k}$ 是一个有效的概率变量。由于 $p(z)$ 是只有1个1元素的K维向量(其余都为0)，因此 $p(z_{k}=1)=\pi_{k}$ 可改写为 $p(z)=\prod_{k=1}^{K} \pi_{k} ^{z_{k}}$ (公式 Ⅳ)

类似的，已知某个 $z_{k}$ 为1(此时其余z元素全为0)求x的条件概率可直接表示为：

$p(x|z_{k}=1)=N(x|\mu _{k},\Sigma_{k} )$

上式是结合公式 Ⅱ和公式 Ⅳ得到的。现在把元素 $z_{k}$ 扩展到整个z向量，就有：

$p(x|z)=\prod_{k=1}^{K} N(x|\mu _{k},\Sigma_{k} )^{z_{k}}$ (公式 Ⅴ)

注意上式对所有k，只有一个 $z_{k}$ =1，其余为0，因此得以成立。

根据贝叶斯公式得到联合概率 $p(x,z)=p(z)p(x|z)$ ，另外有 $p(x)=\sum_{z}p(x,z)$ ，因此

$p(x)=\sum_{z}p(z)p(x|z)$

将公式Ⅳ和公式Ⅴ代入上式，并将z向量展开为多个 $z_{k}$ 元素的形式，同时注意只有一个 $z_{k}$ =1，其余为0的事实，得到：

$p(x)=\sum_{z}p(z)p(x|z)=\prod_{k=1}^{K} \pi _{k}N(x|\mu _{k},\Sigma_{k} )$ (公式 Ⅵ)

这样我们就推导出了 $p(x)$ 的表达式，发现没，公式 Ⅵ和公式 Ⅱ完全等价！

公式 Ⅵ蕴含着这样一个事实，任何一个观测数据 $x_{n}$ 的背后对应了一个隐变量 $z_{n}$ ！

现在我们能够用联合概率分布 $p(x,z)$ 代替 $p(x)$ 来解决GMM问题，这样就能用EM算法来简化。

现在考虑已知x求某个 $z_{k}$ =1的条件概率 $p(z_{k}=1|x)$ ，这个变量含义是，当观测到变量x时， $z_{k}$ =1的后验概率，它可以看成混合高斯的某个高斯成分对解释x变量所起到的某种“责任”，或说负责解释的比例。记 $\gamma (z_{k})=p(z_{k}=1|x)$ ，那么根据贝叶斯规则，即 $p(z|x)=\frac{p(z)p(x|z)}{p(x)}$ ，得到

(公式 Ⅶ)

别忘记， $p(z_{k}=1)=\pi_{k}$ ，表示 $z_{k}=1$ 的先验概率。因此 $\gamma (z_{k})$ 表示当观测到变量x时， $z_{k}=1$ 的后验概率。

上图a为三个高斯500个点的可视化图，分别用红绿蓝表示，可以理解为联合分布 $p(x,z)$ ，其中z的状态有3种，因为不仅能区分出3堆(高斯个数)，而且还能确定哪个数据点属于哪一堆；上图b表示边际分布 $p(x)$ ，我们只能大概看出有3堆，但不能确定哪个点属于哪个堆，它没有包含z的信息。上图a叫做完全数据(complete-data )，上图b叫做不完全数据(incomplete-data )。上图c表示每个数据点和每个高斯成分之间的关联 $\gamma (z_{nk})$ ，即某个数据点有多大概率来自某个高斯，举个例子，如果 $\gamma (z_{n1})=1$ ，那么整个点会涂成红色，如果 $\gamma (z_{n2})=\gamma (z_{n3}) =0.5$ ，那么会涂相同比例的绿色和蓝色，于是得到藏青色。显然，上图a和c的区别是，一个是“硬分类”，一个是“软分类”。

GMM求最大似然

假设有观测数据{ $x_{1}$ , $x_{2}$ ,.., $x_{N}$ }，我们想用GMM建模它，我们可以用NxD的矩阵 $X$ 来表示，其中第n行表示为 $x_{n}^{T}$ 。类似的，隐变量Z是NxK的矩阵，其中第n行为 $z_{n}^{T}$ 。

现在对公式Ⅱ取对数似然，得到：

(公式 Ⅷ)

其中 $X$ 是矩阵，而不是单个变量，因此右边需要对所有点求和，即加上 $\sum_{n=1}^{N}$ ；至于如何最大化这个函数，首先要讨论一下GMM的奇点问题。考虑一个GMM，其协方差矩阵为 $\sum _{k}=\delta _{k}^{2}I$ ，其中 $I$ 是单位矩阵（最后的结论对其他协方差矩阵也一样，这里为了简化讨论）。假设其中一个高斯分布（比如第j个），它的均值 $\mu _{j}$ 刚好等于其中一个数据点 $x_{n}$ ，即 $\mu _{j}=x_{n}$ ，那么这个点的概率可以写为（代入公式Ⅰ-1）：

当考虑σj → 0时，这一变量是无穷大，其对数似然也是无穷大。因此对它求最大值不是一个定义良好的问题。这就是奇点问题，只要GMM有一个高斯成分坍塌到一个特定点，那么总会存在奇点问题。思考：为啥单高斯分布不存在奇点问题？

（GMM的奇点问题）

GMM存在的奇点，在最大似然求值中，会导致严重的过拟合，而只要我们用贝叶斯方法就能克服这个问题。再次强调，我们需要避免找到这种病理(或病态)的解决方案，而至少要找到局部最优解，当然全局最优解更好。一个启发式方法是，当我们发现一个高斯成分要坍塌的时候，可以随机初始化它的均值，同时把它的协方差设置成比较大的值，然后继续最优化。

另一个最大似然问题存在的事项是，假如有K个高斯成分，对于给定的最大似然解，就一共有 $K!$ 个等价的解，因为有 $K!$ 种方式将K个参数组合赋值给K个高斯成分。因此对于特定的参数空间的解，总存在另外 $K!-1$ 个解代表相同的分布。这个叫做GMM的可识别性(identiﬁability )问题。理解这个问题，有助于我们理解GMM。但在本文中，我们认为等价的各个解是一样好的，不去做区分。

对于GMM(公式Ⅷ)的对数似然最大化比单个高斯要复杂，因为ln对数中存在对k的求和，因此ln就无法直接作用在高斯上。直接令该式的导数等于0，将无法得到闭合形式的解。一个解决方案是利用基于梯度的方法(如梯度下降法)，但本文还是继续介绍EM算法的能力，毕竟EM的应用是非常广的，其中就包括GMM场景。

GMM中引入EM

现在正式讨论如何用EM解决GMM的优化问题。令公式Ⅷ的 $ln\, p(X|\pi ,\mu ,\Sigma )$ 对均值 $\mu _{k}$ 求偏导并令其为0，我们得到：

(公式 Ⅸ)

这里的高斯分布采用公式Ⅰ-2形式。此时发现等式右侧的 $\sum$ 中天然存在 $\gamma (z_{nk})$ ，表示每个数据点和每个高斯成分之间的关联。假设协方差矩阵 $\Sigma _{k}$ 非奇异，那么两边乘以 $\Sigma _{k}^{-1}$ 并重新整理，得到：

$\mu _{k}=\frac{1}{N_{k}}\sum_{n=1}^{N}\gamma (z_{nk})x_{n}$ (公式 Ⅹ)

其中 $N_{k}$ 定义为： $N_{k}=\sum_{n=1}^{N}\gamma (z_{nk})$ (公式 Ⅺ)

感官上 $N_{k}$ 可理解为落在第k个高斯分布上的数据点数。而公式 Ⅹ可理解为第k个高斯成分的均值是各个数据点的加权平均得到的，而权重因子正是 $\gamma (z_{nk})$ ，表示某个高斯成分有多大概率生成了该数据点。

现在令公式Ⅷ的 $ln\, p(X|\pi ,\mu ,\Sigma )$ 对协方差 $\Sigma _{k}$ 求偏导并令其为0，我们得到：

(公式 Ⅻ)

同样可看成是各个数据点的一种加权平均，权重因子也是 $\gamma (z_{nk})$ 。

最后考虑公式Ⅷ的 $ln\, p(X|\pi ,\mu ,\Sigma )$ 对混合系数 $\pi _{k}$ 求偏导，并最大化。此时要考虑 $\pi _{k}$ 的约束，即公式 Ⅲ，也就是 $\pi _{k}$ 对所有k的求和必须为1. 利用拉格朗日乘子法，构造出以下待最大化的目标方程：

(公式 XIII)

现在令公式XIII对混合系数 $\pi _{k}$ 求偏导并令其为0，我们得到：

(公式 XIV)

此时我们似乎又看到了 $\gamma (z_{nk})$ 的影子，现在我们对等式两边同乘以 $\pi _{k}$ ，并利用公式Ⅲ，即 $\pi _{k}$ 对k从1到K求和为1，给等式两边对k求和(加上 $\sum_{k=1}^{K}$ )，我们进一步得到：

$0=\sum_{n=1}^{N}\frac{\pi_{k} N(x_{n}|\mu_{k},\Sigma_{k} )}{\Sigma_{j} \pi_{j}N(x_{n}|\mu_{j},\Sigma_{j} )} + \pi_{k}\lambda$ (公式 XV)

$0=\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{K}\frac{\pi_{k} N(x_{n}|\mu_{k},\Sigma_{k} )}{\Sigma_{j} \pi_{j}N(x_{n}|\mu_{j},\Sigma_{j} )} + \sum_{k=1}^{K}\pi_{k}\lambda$

$0=\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{K}\gamma (z_{nk})+ 1*\lambda$

$0=\sum_{n=1}^{N}*1+ 1*\lambda$

$0=N+ \lambda$

因此有 $\lambda= -N$ (公式 XVI )

把公式XVI代入公式XV，整理得到：

$0=\sum_{n=1}^{N}\gamma (z_{nk})- \pi_{k}*N$

结合公式Ⅺ，得到：

$0=N_{k}- \pi_{k}*N$

$\pi_{k}=\frac{N_{k}}{N}$ (公式 XVII )

可见，GMM的某个高斯成分的混合系数 $\pi _{k}$ 是由落到该高斯上的数据点数占所有点数的比例。

现在回头看 $\gamma (z_{nk})$ 的表达式，即公式Ⅶ，发现 $\gamma (z_{nk})$ 以一种复杂的方式依赖 $\pi_{k}$ 、 $\mu _{k}$ 、

$\Sigma _{k}$ 三个模型参数，因此可能并不存在闭合形式的解。不过结合公式X、公式XII、公式XVII可发现，两者存在一种简单的迭代模式，可用来寻找最大似然的解。这就是使用EM算法的动机。

EM算法中，首先初始化模型参数，然后在E步中计算 $\gamma (z_{nk})$ ，然后在M步中重新计算模型参数。注意，要先计算均值，再计算协方差。我们会发现，从E步到M步的每次更新，都能保证增加目标对数似然函数的值。

上图是两个高斯成分GMM的EM过程，图a中绿色是数据点，蓝色和红色是标准差等值线。图b表示第一次E步后，其中蓝色表示一些数据点被认为是来自蓝色的高斯成分，红色与之类似，而紫色(重合点)表示一些点被同时认为来自两个高斯分布的概率都比较高。图c表示第一次M步后，两色的均值和标准差都往数据集的中心移动。

以上三图(d/e/f)分别表示经过2、5、20轮EM迭代后的情况。其中图f接近于收敛。

比起k-means算法，EM一般需要迭代更多次数来到达收敛，每一轮的计算量也更大。因此有必要用k-means辅助初始化，帮助找到比较好的初始值。需要强调，EM并不保证找到全局最优解，初始值对此有影响。存在多种启发式或元启发式方法来避开局部最大值，例如随机重新启动爬山（从几个不同的随机初始估计开始），或应用模拟退火方法。

基于EM的GMM完整算法

已知高斯混合模型，我们的目标是最大化似然函数，其中变量是模型参数(均值、协方差、混合系数)，分别用 $\mu _{k}$ 、 $\Sigma _{k}$ 、 $\pi_{k}$ 表示。

1. 初始化所有模型参数，并计算一遍目标函数的值

2. E步骤：利用已知模型参数，计算 $\gamma (z_{nk})$ ：

3. M步骤：利用新的 $\gamma (z_{nk})$ 重新评估模型参数，即：

其中 $N_{k}=\sum_{n=1}^{N}\gamma (z_{nk})$

4. 计算目标对数似然函数的值，即

并检查模型参数和对数似然函数是否收敛，如果不满足，回到第2步。否则结束算法。

参考资料

EM算法，维基百科。

混合模型，维基百科。

《模式识别与机器学习》，2006 年。

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