有序存储算法之红黑树（Rbtree）_红黑树旋转的复杂度

1 算法简介

红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树，它主要是通过红和黑两种颜色（red、black）来标识节点。通过对任何一条从根节点到叶子节点路径上的节点颜色进行约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的两倍，所以说：红黑树是近似于平衡的。红黑树的应用比较广泛，主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(lgn)，效率非常之高。

红黑树必须满足下面性质：

• 性质1. 节点是红色或黑色
• 性质2. 根节点是黑色。
• 性质3. 所有叶子都是黑色。（叶子是NIL节点）
• 性质4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点）。
• 性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

时间复杂度：
（1）红黑树的时间复杂度是O（logn）。
（2）一颗含有n个节点的红黑树的高度至多为2*log(n+1);

2 左旋和右旋

红黑树的基本操作是添加、删除。在对红黑树进行添加或删除之后，都需要进行旋转，使红黑树依然能保持它特有的性质（五点性质）。红黑树在中序排列时是有序的，左旋和右旋只是改变节点的位置，并不改变顺序。

2.1 左旋（Rotate Left）

参照《算法导论》的伪代码：

LEFT-ROTATE(T, x)  
01  y ← right[x]             // 前提：这里假设x的右孩子为y。
02  right[x] ← left[y]      // 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”，即 将β设为x的右孩子
03  p[left[y]] ← x           // 将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”，即 将β的父亲设为x
04  p[y] ← p[x]             // 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
05  if p[x] = nil[T]       
06  then root[T] ← y        // 情况1：如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点
07  else if x = left[p[x]]  
08  then left[p[x]] ← y    // 情况2：如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
09  else right[p[x]] ← y   // 情况3：(x是它父节点的右孩子) 将y设为“x的父节点的右孩子”
10  left[y] ← x             // 将 “x” 设为 “y的左孩子”
11  p[x] ← y                // 将 “x的父节点” 设为 “y”
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2.2 右旋（RotateRight）

参照《算法导论》的伪代码：

RIGHT-ROTATE(T, y)  
01  x ← left[y]             // 前提：这里假设y的左孩子为x。
02  left[y] ← right[x]      // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”，即 将β设为y的左孩子
03  p[right[x]] ← y         // 将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”，即 将β的父亲设为y
04  p[x] ← p[y]             // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
05  if p[y] = nil[T]       
06  then root[T] ← x       // 情况1：如果 “y的父亲” 是空节点，则将x设为根节点
07  else if y = right[p[y]]  
08  then right[p[y]] ← x   // 情况2：如果 y是它父节点的右孩子，则将x设为“y的父节点的左孩子”
09  else left[p[y]] ← x    // 情况3：(y是它父节点的左孩子) 将x设为“y的父节点的左孩子”
10  right[x] ← y            // 将 “y” 设为 “x的右孩子”
11  p[y] ← x                // 将 “y的父节点” 设为 “x”
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3 添加节点

红黑树的添加分为三个步骤：
第一步： 二叉查找插入节点

• 从根结点开始查找；
• 若根结点为空，那么插入结点作为根结点，结束。
• 若根结点不为空，那么把根结点作为当前结点；
• 若当前结点为null，返回当前结点的父结点，结束。
• 若当前结点key等于查找key，那么该key所在结点就是插入结点，更新结点的值，结束。
• 若