加速梯度下降法_nesterov加速梯度下降法

Nesterov’s Accelerated Gradient Descent

一般的梯度下降算法的收敛速率为
$o(1/t)$,$t$表示迭代的次数。但是人们已经证明了随着迭代次数$t$的增加。收敛速率可以到达$o(1/t^2)$.

1.简介:

加速梯度算法(AGD)是梯度算法(GD)的一个改进的版本。Nesterov 在1983年首次提出。人们已经证明AGD算法是所有基于梯度算法（或者说一阶）算法中最好的方法。然而原始的AGD算法仅能处理光滑的凸优化问题。最新的进展是，将AGD扩展到了更广泛类型的凸优化问题：

$$\min_x f(x)+g(x)$$
其中 $f(x)$是平滑的凸函数, $g(x)$是闭凸函数。同样可以获得相似的收敛速率。

2.算法

AGD算法可以概括为算法1：，其中有两种方式确定步长$\gamma$

首先，类似于梯度下降算法，为了确保收敛率，我们可以设置$\gamma$为一个足够小的数，特别的，$\gamma \leq (||\triangledown ^2 f(x)||^{-1} ) \quad \forall x$。其次，我们可以使用直线搜索，自适应地确定步长，满足:

$$f(x_{k+1} )\leq m_{y_k,\gamma}(x_{k+1})$$
其中：
$$x_{k+1}=\text{prox}_{\gamma g(\cdot)}(y_k-\gamma \triangledown f(y_k))$$
$\text{prox}_{\gamma g(\cdot)}(\cdot)$表示近端操作（近似操作）。即：
$$\text{prox}_{\gamma g(\cdot)}(v)=\text{argmin}_{z \in R^n}\frac{1}{2\gamma}||v-z||^2+g(z)$$

通常给定$\gamma$的情况下，我们先求解：$v=y_k-\gamma \triangledown f(y_k)$，然后再求解$\text{prox}_{\gamma g(\cdot)}(v)$.
注意：序列$\{ t_k\}$满足下面的三个属性：

1. $\{ t_k\}$ 是正的，并且递增
2. $t_{k+1} \geq t_k+\frac{1}{2}$
3. $frac{t_0-1}{t_1}=0$ 并且$\text{lim}_{t \rightarrow \infty}\frac{t_k-1}{t_k+1}=1$

3.收敛率：

AGD 是最优的基于梯度的方法。因为它提供了最优的收敛率。假定满足下面的Lipschitz 条件。
假设1. 假定平滑的凸函数$f(x)$拥有一个Lipschitz梯度。也就是说存在常数L，满足：

$$f(y) \leq f(x) +<\triangledown f(x),y-x>+\frac{L}{2}||y-x||^2 \quad x,y$$

在这个假设下，如果步长选择的足够小，或者通过直线搜索确定，那么我们有下面的收敛率：

$$F(x_k)-F^* \leq O \left (\frac{1}{k^2} \right )$$

另外一种解释方法:

首先定义下面的序列：

$$\lambda_0=0 ,\lambda_s=\frac{1+\sqrt{1+4 \lambda_{s-1}^2}}{2} ,\text{and} , \gamma_s=\frac{1-\lambda_s}{\lambda_{s+1}}$$
注意： $\gamma_s \leq 0$,。现在算法通过下面的等式简单的定义，初始点 $x_1=y_1$是任意的。
$$y_{s+1}=x_s-\frac{1}{\beta}\triangledown f(x_s)$$
$$x_{s+1}=(1-\gamma_s)y_{s+1}+\gamma_sy_s$$

换句话说：
Nesterov加速梯度下降法执行简单的梯度下降步骤,从$x_s$到$y_{s+1}$。然后通过先前的点$y$给定的方向上，轻微的滑动，进一步的远离$y_{s+1}$.

参考文献：

1. https://blogs.princeton.edu/imabandit/2013/04/01/acceleratedgradientdescent/
   [ORF523: Nesterov’s Accelerated Gradient Descent]
2. CSC 576: Accelerated Gradient Descent Algorithm
3. Gradient methods for minimizing composite objective function [Nesterov2007]