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【奇异值分解代码示例】

奇异值分解代码

当我们使用SVD对一个矩阵进行分解时,我们可以将它分解为三个矩阵的乘积形式,其中一个矩阵是一个对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值。下面通过一个简单的例子来说明SVD的具体过程。

假设有一个 3 × 2 3\times 2 3×2的矩阵 A A A,其值为:

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \2 at position 21: …gin{bmatrix}1&2\̲2̲&3\3&4\end{bmat…

我们可以对矩阵 A A A进行SVD分解,得到:

A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT

其中, U U U是一个 3 × 3 3\times 3 3×3的正交矩阵, Σ \Sigma Σ是一个 3 × 2 3\times 2 3×2对角矩阵 V V V是一个 2 × 2 2\times 2 2×2的正交矩阵。我们可以使用Python中的NumPy库来进行SVD分解,代码如下:


import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4]])
U, s, Vt = np.linalg.svd(A)

print("U = \n", U)
print("s = \n", s)
print("Vt = \n", Vt)
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输出结果为:

U = 
 [[-0.30792762  0.73438511 -0.60524264]
  [-0.53545549  0.34677418  0.77079098]
  [-0.78492399 -0.58083675 -0.21516799]]
s = 
 [6.54624923 0.51434214]
Vt = 
 [[-0.61962948 -0.78489445]
  [ 0.78489445 -0.61962948]]
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其中, s s s是一个包含奇异值的一维数组,可以将其转化为对角矩阵 Σ \Sigma Σ,代码如下:

python

Sigma = np.zeros((3, 2))
Sigma[:2, :2] = np.diag(s)
输出结果为:
Sigma = 
 [[6.54624923 0.        ]
  [0.         0.51434214]
  [0.         0.        ]]
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通过上述代码,我们得到了矩阵 A A A的SVD分解结果:

A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT

其中, U U U Σ \Sigma Σ V V V分别对应 A A A的左奇异向量、奇异值和右奇异向量,它们满足以下性质:

U U U V V V都是正交矩阵,满足 U U T = U T U = V V T = V T V = I UU^T=U^TU=VV^T=V^TV=I UUT=UTU=VVT=VTV=I
Σ \Sigma Σ是一个对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值,按照从大到小的顺序排列。
SVD分解可以用于多种应用场景,例如矩阵压缩、降维、图像处理等。在实际应用中,我们可以根据具体的问题和数据特征,选择合适的SVD分解方法和算法。

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